נוסחאות הכפל המקוצר – הסברים ותרגילים

נוסחאות הכפל המקוצר - לרוב התלמידים הן נפלו כעשרת הדיברות מן השמיים. אבל למעשה הן משפטים שניתנים להוכחה. הנוסחאות הן גם מאוד שימושיות, על אף שהן מקור לטעות קריטית שתלמידים רבים עושים. מה ההוכחות להן, למה הן שימושיות, מה הטעות הנפוצה של התלמידים ואיך בלונדינים ובנימין נתניהו קשורים לנוסחאות?

תוכן עניינים

המילה "נוסחאות" המופיעה באותן נוסחאות כפל מקוצר המפורסמות מסתירות את זהותן האמיתית – היותן משפטים. במתמטיקה משפט (או Theorem באנגלית) היא טענה שהוכחה מטענות אחרות. לכן, נוסחאות הכפל המקוצר אינן סתם נוסחאות, אלא כאלה שהוכחו, ועל-כן הן נקראות במתמטיקה משפטים כחלק ממה שהיא מערכת אקסיומטית. אנחנו נראה בהמשך הוכחות לנוסחאות הכפל המקוצר.

ראשית נרצה לראות כיצד משתמשים בנוסחה באופן כללי, כלומר כיצד מציבים ביטויים בנוסחאות. לאחר-מכן, נראה איך משתמשים בנוסחאות כאשר ביטוי כלשהו. לאחר-מכן, נדע לזהות מתי ביטויים מתאימים ומתי הם אינם מתאימים לשימוש בנוסחה. לאחר-מכן נראה כיצד "משפצים" ביטויים כדי שיתאימו להצבה בנוסחה. נמשיך ונראה טעות נפוצה מאוד של תלמידים ביחס לנוסחאות ולהעלאה בריבוע. לאחר מכן, נראה 2 שימושים חזקים מאוד בנוסחאות כפל מקוצר. עקב כך – נבין סוף-סוף למה מוסף להם שם-התואר "מקוצר", כלומר במה הן מקצרות? לבסוף, נראה הוכחה של הנוסחאות.

אנחנו לא נעסוק בכל נוסחאות הכפל המקוצר, אלא בשלוש הפופולאריות ביותר. הנה הן:

לכל a,b (שיכולים לייצג כל מספר ממשי כלשהו):

1. \( (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \)

2. \( (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \)

3. \( a^2-b^2=(a+b)(a-b) \)

איך מציבים בנוסחה בכלל ובכפל מקוצר בפרט

לפי שנשתמש בנוסחת כפל מקוצר חשוב שנדע איך משתמשים בנוסחה באופן כללי, בכל נוסחה. בנוסחה מופיעות אותיות. הן בעצם מייצגות מקום ריק שבו אנו יכולים להציב כל מספר. מה שחשוב הוא שברגע שהחלטנו שאנחנו מציבים מספר כלשהו במקום אות מסויימת אזי נציב את אותו המספר בשאר המופעים של האות. לא יכול להיות שבאותה נוסחה נציב במקום אחד במקום a את המספר 7 ובמקום אחר באותה נוסחה את המספר 3. נראה דוגמה לשימוש בנוסחה הראשונה של הכפל המקוצר. נזכיר קודם כל את הנוסחה:

\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \]

עכשיו נציב במקום a את המספר 7. על-כן, נוכל לומר כי:

\[ (7+b)^2=7^2+2\cdot 7 \cdot b+b^2 \]

אם היינו במקום אחד המופעים מציבים במקום a את 3 – זו היתה טעות. לדוגמא:

\[ (7+b)^2=7^2+2 \cdot 3 \cdot b+b^2 \]

זוהי טעות בשימוש בנוסחה.

נשים לב איך נציב ביטוי עם סימן מינוס. לדוגמא, נציב בנוסחה השנייה במקום a את 4- ובמקום b את המספר 3.

\[ ((-4)+3)^2=(-4)^2+2\cdot (-4)\cdot 3 +3^2 \]

אנחנו חייבים להציב את הביטוי בסוגריים. למעשה – זוהי ברירת המחדל שלנו ולפעמים אנחנו פשוט משמיטים את הסוגריים. אם לא היינו מציבים עם סוגריים זה היה טעות, ומדובר בטעות קלאסית של תלמידים רבים.

זמן תרגול

תרגול - הצבה בנוסחאות כפל מקוצר

נוסחאות הכפל המקוצר

תזכורת לנוסחאות הכפל המקוצר:

 \( (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \)

\( (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \) 

\( a^2-b^2=(a+b)(a-b) \)

התרגילים

  1. בכל אחת מ-3 נוסחאות הכפל המקוצר הצב במקום a את המספר 3 ובמקום b את המספר 5.
  2. בכל אחת מ-3 נוסחאות הכפל המקוצר הצב במקום a את המספר 800 ובמקום b את המספר 6-.
  3. המצא מספר להצבה במקום a ומספר להצבה במקום b והצב אותם בכל אחת מ-3 הנוסחאות.
  4. בכל אחד מהביטויים הבאים – השתמשו באגף אחד של הנוסחה ורשמו את האגף האחר באופן שמתאים לתבנית הנוסחה הראשונה:
    \[ (6+3)^2= \]
    \[ (x+4)^2= \]
    \[ (\bigcirc^2+2\bigcirc \cdot 3 + 3^2)= \]
    \[ 3^2+2\cdot 3 \cdot y +y^2= \]

התאמה או אי התאמה לשימוש בנוסחה

לגבי התאמה או אי התאמה לשימוש בנוסחה נראה באמצעות דוגמה. נקח לדוגמה את נוסחת הכפל המקוצר הראשונה:

\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \]

נתרכז באגף שמאל של הנוסחה ונסתכל על הביטוי הבא:

\[ 3+5 \]

האם הוא מתאים לנוסחה? התשובה היא לא.

נמשיך להתרכז באותה נוסחה ובאגף שמאל שלה ונסתכל על הביטוי הבא:

\[ (3+5)^2 \]

היא הוא מתאים לנוסחה? כן! כעת נוכל להשתמש בנוסחה ולהמשיך ולכתוב:

\[ (3+5)^2=3^2+2\cdot 3 \cdot 5 +5^2 \]

נבדוק עוד ביטוי:

\[ 3^2 +5^2 \]

האם הוא מתאים לאגף שמאל של המשוואה? לא!

 

רוצים לדעת לזהות התאמה בעצמכם?

קורס הכנה לשנה א' במדעי המחשב והנדסה

שיפוץ ביטוי כדי שיתאים לנוסחה

על אף שביטוי יכול לא להתאים לנוסחה במבט ראשון אנחנו יכולים לשחק איתו קצת כך שהוא כן יתאים. נאמר שכתוב הדבר הבא:

\[4^2+16+2^2 \]

נראה איך אנחנו יכולים לשנות את הביטוי הזה, איזה טריק אלגברי אנחנו יכולים לעשות, ככה שהוא יתאים לנוסחה שלנו. נוכל לכתוב במקומו את הדבר הבא:

\[4^2+2 \cdot 4 \cdot 2+2^2 \]

מה שינינו? הצבנו במקום 16 את $ 2 \cdot 4 \cdot 2 $. הסכימו איתי שזה בהחלט מותר.

נשים לב שהוא עכשיו בדיוק מתאים לאגף הימין של הנוסחה הראשונה:

\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \]

\[ a=4 ,  b=2 \]

לכן, נוכל לכתוב במקומו את הביטוי הבא:

\[(4+2)^2 \]

שכן פשוט הצבנו את אותם a ו-b בנוסחה הראשונה שלנו. כעת נוכל לפתור זאת בקלות וקצרה:

\[(4+2)^2=6^2=36 \]

והנה למה נוסחאות כפל מקוצר – מקצרות! במקום לחשב כמה זה \( 4^2 \) , כמה זה \(2^2 \) לחבר ביניהם ולהוסיף לזה 16, חישבנו רק כמה זה \(6^2\). עבור מספרים קטנים זה לא כזה ביג דיל. עבור מספרים גדולים יותר זה הרבה יותר נחמד.

נסתכל על דוגמא שבה יש שימוש באותיות. נרצה "לפתוח" את הביטוי הבא באמצעות נוסחאת כפל מקוצר.

\[ 4x^2+20x+25 \]

נעשה כמה שיפוצים אלגבריים:

\[4x^2+20x+25 = \]

\[ (2x)^2+2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot x +5^2 \]

עדיין הביטוי לא תואם בדיוק למה שבנוסחה. נשתמש בחילופיות של הכפל ונמשיך בשיפוץ:

\[ =(2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 5 +5^2 \]

הו! עכשיו זה מתאים בול לנוסחה הראשונה. במצב הזה \( a=2x , b=5\). נוכל כעת לכתוב את האגף השני של הנוסחה:

\[(2x+5)^2 \]

נראה עוד דוגמא. כעת נראה כיצד נוכל להשתמש בנוסחה השלישית. שוב נשפץ את הביטוי כך שיתאים לצד אחד של הנוסחה (כרגע מה שיתאים הוא זה השמאלי):

\[ 4x^2-9 = (2x)^2-3^2 \]

אפשר לראות עכשיו בקלות ש- \( a=2x , b=3 \) ולכן נוכל לכתוב:

\[ = (2x+3)(2x-3) \]

זמן תרגול

תרגול - שיפוץ ביטויים ושימוש בנוסחאות

נוסחאות הכפל המקוצר

תזכורת לנוסחאות הכפל המקוצר:

 \( (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \)

\( (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \) 

\( a^2-b^2=(a+b)(a-b) \)

התרגילים:

  1. עבור כל אחד מהביטויים הבאים – השתמשו באגף אחד של אחת הנוסחאות ורשמו את האגף האחר באופן שמתאים לתבנית הנוסחה:

\[ 9+2\cdot 3 \cdot a + a^2= \]

\[ 9-b^2= \]

\[ (\bigcirc^2+\bigcirc \cdot 6 + 3^2)= \]

\[ 9a^2 + 2\cdot 3a \cdot b + b^2 \]

טעות נפוצה של תלמידים

תלמידים רבים טועים ביחס להעלאה בחזקה. לדוגמא, כאשר כתוב \( (a+b)^2 \) הם יטעו ויכתבו שהדבר שווה ל- \( a^2+b^2\). למה הם טועים בכך? מכיוון שהם לא הורגלו ללמוד מתמטיקה באופן שיטתי ואקסיומטי.  דהיינו, הם לא רגילים לכך שהדבר היחיד שבו הם יכולים להשתמש הוא או אקסיומה או משפט שהוכח מהאקסיומה. כבר כתבתי על-כך שהיעדר הלימוד באופן הזה זוהי אחת הסיבות העיקריות למה תלמידים מתקשים במתמטיקה.לכן, ראשית נאמר להם שהם טועים מכיוון שאין הם הוכיחו את המשפט בו הם משתמשים. שנית, נוכל לסתור את הטענה שלהם באופן די מהיר. נציב \(a=5 \, b=3\) בנוסחה אותה הם הציעו ( \(a^2+b^2=(a+b)^2 \) ונקבל בצד האחד ש:

\[ a^2+b^2=25+9=34 \]

מנגד, בצד השני של הנוסחה נקבל ש:

\[ (a+b)^2=(5+3)^2=8^2=64 \]

כלומר, קיבלנו ש- \(34=64\) ! בוודאי שדבר זה לא אפשרי, ולכן, הטענה הכללית שהתלמיד טען, שלכל \(a, b\) אפשר לקבוע ש-\(a^2+b^2=(a+b)^2 \) היא שקרית.

נשים לב לנקודה חשובה – האם זה אומר שהטענה הזאת שקרית לכל \(a,b \) שנציב? בוודאי שלא! נראה אנלוגיה לכך שתבהיר זאת למי שזה עדיין לא הובהר. נאמר שאטען כי   "כל בני-האדם הם בלונדינים". תסכימו איתי שטענה זו שקרית. איך נראה זאת? נביא דוגמה נגדית שתסתור זאת, לדוגמה, בנימין נתניהו הוא אדם, והוא איננו בלונדיני, לכן קיומו סותר את הטענה הזו. האם זה שסתרתי את הטענה הכללית אומר שאף בן-אדם הוא לא-בלונדיני, כלומר שלא קיימים בני-אדם שהם בלונדינים? ודאי שלא. באופן דומה, בוודאי שאוכל למצוא \(a, b\) כך שהטענה תהיה אמיתי. לדוגמא, עבור \(a=0 \, b=0\). עניינים מסוג אלה, כפי שכתבתי כאן הם הלחם והחמאה של התחום המתמטי והפילוסופי החשוב שהוא מדע הלוגיקה.

2 שימושים לנוסחאות הכפל המקוצר

צמצום שברים

הדבר העיקרי שצריך לשים לב הוא שמשפטי הכפל המקוצר מאפשרים לנו לעבור מביטוי שהפעולה הראשית שלו היא כפל לביטוי שהפעולה הראשית שלו היא חיבור (ולהפך). לעבור מביטוי שהפעולה הראשית היא חיבור לזה שהיא כפל יכול לעזור לנו כאשר אנחנו רוצים לפשט ביטויים ולהפוך אותם לאלגנטיים יותר. רק כאשר הפעולה הראשית היא כפל רק אז נוכל לצמצם. לדוגמא, כאשר כתוב משהו כגון:

\[ \frac{4x^2 + 4xy+y^2}{2x+y} \]
 
נוכל להשתמש במשפט הראשון ובמקום המונה לכתוב את הדבר הבא (המכנה נשאר אותו הדבר):
\[ \frac{(2x+y)^2}{2x+y} \]
 
כעת נוכל גם לצמצם את המונה והמכנה ולקבל:
\[ 2x+y \]
 
הביטוי עכשיו הרבה יותר נחמד, מצומצם ואלגנטי!
 
אתם יכולים כעת לעשות את החלק השני בדף התרגילים על נוסחאות הכפל המקוצר.
 

זמן תרגול

תרגול - צמצום שברים באמצעות הנוסחאות

נוסחאות הכפל המקוצר

תזכורת לנוסחאות הכפל המקוצר:

 \( (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \)

\( (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \) 

\( a^2-b^2=(a+b)(a-b) \)

התרגילים:

עבור כל אחד מהביטויים הבאים – השתמשו באחת מנוסחאות הכפל המצומצם כך שתוכלו לצמצם את השבר על-מנת שיהא אלגנטי יותר:

\[ \frac{a^2+6a+9}{a+3}= \]

\[ \frac{a^2-9}{(a+5)(a-3)}= \]

\[ \frac{25a^2+60a+36}{25a^2-36}= \]

לחשב במהירות הבזק

לא הרבה משתמשים בנוסחאות הכפל המקוצר למטרה זו, אבל למעשה – אפשר להשתמש בהם כדי לחשב דברים די במהירות! בחלק הקודם ראינו למה מעבר מביטוי שהפעולה הראשית שלו היא חיבור לביטוי שהפעולה הראשית היא כפל יכולה להועיל לנו (אפשר אז לצמצם!). נראה כעת את המעבר מפעולה ראשית שהיא כפל לזו שהיא חיבור, לצד השני של הנוסחה. נשתמש בזה כדי לחשב דברים במהירות הבזק.
 
לדוגמא, נניח ונרצה לדעת כמה זה \(14^2 \) בו השתמשנו מקודם. נשתמש בנוסחה הראשונה שלנו:
$$14^2= (10+4)^2=$$
$$10^2+2 \cdot 10 \cdot 4 +4^2=$$
$$100+80 +16=$$
$$196 $$
 
נקח עוד דוגמא. נרצה לחשב כמה זה  \( 72^2 \). נוכל לכתוב:
$$72^2=(70+2)^2= $$
$$70^2+2 \cdot 70 \cdot 2 + 2^2 = $$
$$ (7 \cdot 10)^2 +280+4= $$
$$7^2 \cdot 10^2 +284 = $$ $$4900+284=5184 $$
 
למעשה שתי נוסחאות הכפל המקוצר הראשונות הן מקרה פרטי של מה שנקרא הבינום של ניוטון שמכליל את ההעלאה בחזרה של ביטוי מורכב לכל \(n\) כלשהו. אבל על כך אולי אכתוב פוסט נפרד בעתיד.
 
נראה עוד דוגמא לחישוב מהיר כעת  באמצעות הנוסחה השלישית. נזכיר רגע מהי:
 $$ a^2-b^2=(a+b)(a-b) $$
נאמר ונרצה לדעת כמה זה \(200^2-199^2 \).  אוכל להשתמש בנוסחה השלישית כאשר \(a=200, b=199 \). אציב זאת ואקבל:
$$200^2-199^2=$$
$$(200+199) \cdot (200-199)=$$
$$399 \cdot 1=$$
$$399 $$
 
שימו לב כמה פשוט היה לחשב זאת! אילו הייתי צריך לחשב את \(200^2\), לחשב את \(199^2\) ולאחר מכן לחשב את ההחסר של השני מהראשון – הייתי צריך לעבוד הרבה יותר קשה! שוב אנחנו נוכחים בנוסחאות הכפל המקוצר.

זמן תרגול

תרגול - חישובי בזק באמצעות נוסחאות הכפל

נוסחאות הכפל המקוצר

תזכורת לנוסחאות הכפל המקוצר:

 \( (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \)

\( (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \) 

\( a^2-b^2=(a+b)(a-b) \)

השתמשו בנוסחאות הכפל המקוצר בשביל החישובים הבאים:

\(11^2= \)

\(24^2= \)

\(63^2= \)

\(101^2= \)

סיימנו את כל חלק התרגולים. רוצים לתרגל עוד? יש לי דף תרגול בנוסחאות הכפל המקוצר עם תרגילים.

הוכחות למשפטים – נוסחאות הכפל המקוצר

הוכחת המשפט הראשון

נתחיל עם ההוכחה של המשפט הראשון. בהוכחה נתבסס על "חוק" הפילוג ("חוק" מכיוון שגם הוא משפט הניתן להוכחה. רוצים פוסט גם עליו? כתבו בתגובות). כיצד מוכיחים שיוויון? נתחיל עם האגף השמאלי (או הימני, איזה שתרצו) ובאמצעות סדרה של מהלכים לוגיים תקפים ושימוש באקסיומות או במשפטים קודמים שכבר הוכחנו – נצטרך להגיע לאגף השני של המשוואה. אם-כן, נתחיל בכתיבת האגף השמאלי של המשפט.

\[ (a+b)^2 \]

עכשיו נתרגם מה זה אומר בריבוע, כלומר:

\[ (a+b)^2=(a+b) \cdot (a+b) \]

ונשתמש בחוק הפילוג (לרוב נציב אותו כאקסיומה):

\[ a \cdot (b+c)=ab+ac \]

באיזה אופן נשתמש באקסיומה? נתייחס לכל הביטוי עם הסוגריים השמאליים בתור האיבר השמאלי במשפט הפילוג (כלומר, בתור ה-a שלנו).

\[ (a+b) \cdot (a+b) = (a+b) \cdot a + (a+b) \cdot b \]

כעת שוב נשתמש ב"חוק" הפילוג ונקבל:

\[ a^2 +ab+ba+b^2 \]

בגלל תכונת החילופיות של הכפל נוכל לכתוב:

\[ a^2 +ab +ab+b^2 \]

שכן  \(ba=ab\) . כעת, כל שנותר לעשות הוא לחבר את אותם שני איברים והוכחת המשפט הסתיימה:

\[ a^2 +2ab+b^2 \]

הוכחת המשפט השני

הוכחת המשפט השני פשוטה להפליא שכן היא מתבססת כבר על המשפט הראשון. ברגע שהוכחנו משפט – ניתן להשתמש בו. שוב, נרשום קודם כל פשוט את האגף השמאלי:

\[ (a-b)^2 \]

כעת, נרצה להשתמש במשפט הכפל המקוצר הקודם שהוכחנו. נצטרך לשנות את שכתוב כדי שהוא יתאים לו. נשתמש בתכונה הבאה:

\[  a-b = a+(-b) \]

נציב זאת:

\[  (a-b)^2=(a+(-b))^2 \]

עכשיו אנחנו יכולים להשתמש במשפט שהוכחנו ולכתוב:

\[ (a-b)^2=(a+(-b))^2= (a^2+2a(-b)+(-b)^2 =a^2 -2ab +b^2 \]

ובא לציון גואל.

הוכחת המשפט השלישי

 ראשית הנה הוא:
\[ a^2-b^2=(a+b) \cdot (a-b) \]

הוכחה:

שוב, נכתוב שוב אגף כלשהו, ונרצה אחרי סדרה של שיוויונות להגיע לאגף האחר. נבחר את האגף הימני ונשתמש (שוב) במשפט הפילוג (פעמיים):

\[ (a + b) \cdot (a-b) = (a+b) \cdot a – b \cdot (a+b) = a^2 + ab – ba -b^2 = \]

בגלל תכונת החילופיות של הכפל נוכל לכתוב:

\[ a^2 + ab -ab – b^2 = \]

נשים לפלא שקורה כעת:

\[ a^2 + 0 – b^2 = a^2 – b^2 \]

 
לסיכום, ראינו שהנוסחאות אינן סתם "נוסחאות" כי אם משפטים שיש להם הוכחה. ראינו את ההוכחות שלהם, וגם את התו המהותי שלהן (שינוי של הפעולה הראשית). לבסוף, גם ראינו איך אפשר להשתמש במשפטי הכפל המקוצר, גם לנושאים אריתמטיים מסובכים, וגם סתם לצורך חישוב מהיר.
 
 
יש לכם עוד שאלה? משהו לא ברור? רוצים לשמוע עוד? כתבו בתגובות.
שיתוף ב facebook
שיתוף ב telegram
שיתוף ב whatsapp
שיתוף ב email
אולי יעניין אותך גם לקרוא...
כתיבת תגובה
speech-bubble-640

השאירו פרטים

ואחזור אליכם בהקדם

רוצים להיות כוכבי מתמטיקה?

הירשמו לרשימת התפוצה לקבלת כל המאמרים והעידכונים.

קורס הכנה לשנה א' במדעי המחשב והנדסה
דילוג לתוכן