נוסחאות הכפל המקוצר

נוסחאות הכפל המקוצר - לרוב התלמידים הן נפלו כעשרת הדיברות מן השמיים. אבל למעשה הן משפטים שניתנים להוכחה. הנוסחאות הן גם מאוד שימושיות, על אף שהן מקור לטעות קריטית שתלמידים רבים עושים. מה ההוכחות להן, למה הן שימושיות, מה הטעות הנפוצה של התלמידים ואיך בלונדינים ובנימין נתניהו קשורים לנוסחאות? הכל בכתבה.

תוכן עניינים

תוכן עניינים:

מה מקוצר בנוסחאות?

טעות נפוצה של תלמידים

2 שימושים שונים לנוסחאות הכפל המקוצר

צמצום שברים

לחשב במהירות הבזק

הוכחת המשפט הראשון

הוכחת המשפט השני

הוכחת המשפט השלישי

מה מקוצר בנוסחאות?

המילה "נוסחאות" המופיעה באותן נוסחאות הכפל המקוצר המפורסמות מסתירות את זהותן האמיתית – היותן משפטים. במתמטיקה משפט (או Theorem באנגלית) היא טענה שהוכחה מטענות אחרות. לבסוף הבניין שכל תחום במתמטיקה יושב נקרא אקסיומות (ראה המאמר שכתבתי על מהי אקסיומה?). 

בחלק האחרון של המאמר נראה הוכחות לנוסחאות הכפל המקוצר. אולם ראשית, נראה כיצד מציבים ביטויים בנוסחאות, וכיצד "משפצים" ביטויים כדי שיתאימו להצבה בנוסחה. נמשיך ונראה טעות נפוצה מאוד של תלמידים ביחס לנוסחאות ולהעלאה בריבוע. לאחר מכן, נראה 2 שימושים חזקים מאוד בנוסחאות הכפל המקוצר. עקב כך – נבין סוף-סוף למה מוסף להם שם-התואר "מקוצר", כלומר במה הן מקצרות?

אנחנו לא נעסוק בכל נוסחאות הכפל המקוצר, אלא בשלוש הפופולאריות ביותר. הנה הן:

לכל a,b (שיכולים לייצג כל מספר ממשי כלשהו):

1. \( (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \)

2. \( (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \)

3. \( a^2-b^2=(a+b)(a-b) \)

תרגול ראשוני

נראה איך אנחנו יכולים להשתמש בנוסחה הראשונה (עוד לפני ההוכחה). סתם לשחק קצת עם הביטויים. נאמר שכתוב הדבר הבא:

\[4^2+16+2^2 \]

נראה איך אנחנו יכולים לשנות את הביטוי הזה, איזה טריק אלגברי אנחנו יכולים לעשות, ככה שהוא יתאים לנוסחה שלנו. נוכל לכתוב במקומו את הדבר הבא:

\[4^2+2 \cdot 4 \cdot 2+2^2 \]

נשים לב שהוא עכשיו בדיוק מתאים לאגף הימין של הנוסחה הראשונה.

\[ a=4 ,  b=2 \]

לכן, נוכל לכתוב במקומו את הביטוי הבא:

\[(4+2)^2 \]

שכן פשוט הצבנו את אותם a ו-b בנוסחה הראשונה שלנו. כעת נוכל לפתור זאת בקלות וקצרה:

\[(4+2)^2=6^2=36 \]

והנה למה נוסחאות הכפל המקוצר – מקצרות! במקום לחשב כמה זה \( 4^2 \) , כמה זה \(2^2 \) לחבר ביניהם ולהוסיף לזה 16, חישבנו רק כמה זה \(6^2\). עבור מספרים קטנים זה לא כזה ביג דיל. עבור מספרים גדולים יותר זה הרבה יותר נחמד.

נסתכל על דוגמא שבה יש שימוש באותיות. נרצה "לפתוח" את הביטוי הבא באמצעות נוסחאת כפל מקוצר.

\[ 4x^2+20x+25 \]

נעשה כמה שיפוצים אלגבריים:

\[4x^2+20x+25 = (2x)^2+2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot x +5^2 \]

עדיין הביטוי לא תואם בדיוק למה שבנוסחה. נשתמש בחילופיות של הכפל ונמשיך בשיפוץ:

\[ =(2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 5 +5^2 \]

הו! עכשיו זה מתאים בול לנוסחה הראשונה. במצב הזה \( a=2x , b=5\). נוכל כעת לכתוב את האגף השני של הנוסחה:

\[(2x+5)^2 \]

נראה עוד דוגמא. כעת נראה כיצד נוכל להשתמש בנוסחה השלישית. שוב נשפץ את הביטוי כך שיתאים לצד אחד של הנוסחה (כרגע מה שיתאים הוא זה השמאלי):

\[ 4x^2-9 = (2x)^2-3^2 \]

אפשר לראות עכשיו בקלות ש- \( a=2x , b=3 \) ולכן נוכל לכתוב:

\[ = (2x+3)(2x-3) \]

אני ממליץ לכם לתרגל את ההצבה הראשונית בנוסחה והשיפוצים השונים לפני שתמשיכו. הנה דף תרגילים שהכנתי בנושא. שימו לב לעשות בינתיים רק את החלק הראשון.

סיימנו את לימוד ההצבה הראשוני בנוסחה ו"שיפוץ" ביטויים כך שיתאימו לנוסחה. כעת נרצה לראות מתי נוכל להשתמש בנוסחאות המקוצרות, אבל לפני כן – נראה טעות נפוצה מאוד של תלמידים.

טעות נפוצה של תלמידים

תלמידים רבים טועים ביחס להעלאה בחזקה. לדוגמא, כאשר כתוב \( (a+b)^2 \) הם יטעו ויכתבו שהדבר שווה ל- \( a^2+b^2\). למה הם טועים בכך? מכיוון שהם לא הורגלו ללמוד מתמטיקה באופן שיטתי ואקסיומטי.  דהיינו, הם לא רגילים לכך שהדבר היחיד שבו הם יכולים להשתמש הוא או אקסיומה או משפט שהוכח מהאקסיומה. כבר כתבתי על-כך שהיעדר הלימוד באופן הזה זוהי אחת הסיבות העיקריות למה תלמידים מתקשים במתמטיקה.לכן, ראשית נאמר להם שהם טועים מכיוון שאין הם הוכיחו את המשפט בו הם משתמשים. שנית, נוכל לסתור את הטענה שלהם באופן די מהיר. נציב \(a=5 \, b=3\) בנוסחה אותה הם הציעו ( \(a^2+b^2=(a+b)^2 \) ונקבל בצד האחד ש:

\[ a^2+b^2=25+9=34 \]

מנגד, בצד השני של הנוסחה נקבל ש:

\[ (a+b)^2=(5+3)^2=8^2=64 \]


כלומר, קיבלנו ש- \(34=64\) ! בוודאי שדבר זה לא אפשרי, ולכן, הטענה הכללית שהתלמיד טען, שלכל \(a, b\) אפשר לקבוע ש-\(a^2+b^2=(a+b)^2 \) היא שקרית.

נשים לב לנקודה חשובה – האם זה אומר שהטענה הזאת שקרית לכל \(a,b \) שנציב? בוודאי שלא! נראה אנלוגיה לכך שתבהיר זאת למי שזה עדיין לא הובהר. נאמר שאטען כי   "כל בני-האדם הם בלונדינים". תסכימו איתי שטענה זו שקרית. איך נראה זאת? נביא דוגמה נגדית שתסתור זאת, לדוגמה, בנימין נתניהו הוא אדם, והוא איננו בלונדיני, לכן קיומו סותר את הטענה הזו. האם זה שסתרתי את הטענה הכללית אומר שאף בן-אדם הוא לא-בלונדיני, כלומר שלא קיימים בני-אדם שהם בלונדינים? ודאי שלא. באופן דומה, בוודאי שאוכל למצוא \(a, b\) כך שהטענה תהיה אמיתי. לדוגמא, עבור \(a=0 \, b=0\). עניינים מסוג אלה, כפי שכתבתי כאן הם הלחם והחמאה של התחום המתמטי והפילוסופי החשוב שהוא מדע הלוגיקה.

2 שימושים לנוסחאות הכפל המקוצר

צמצום שברים

הדבר העיקרי שצריך לשים לב הוא שמשפטי הכפל המקוצר מאפשרים לנו לעבור מביטוי שהפעולה הראשית שלו היא כפל לביטוי שהפעולה הראשית שלו היא חיבור (ולהפך). לעבור מביטוי שהפעולה הראשית היא חיבור לזה שהיא כפל יכול לעזור לנו כאשר אנחנו רוצים לפשט ביטויים ולהפוך אותם לאלגנטיים יותר. רק כאשר הפעולה הראשית היא כפל רק אז נוכל לצמצם. לדוגמא, כאשר כתוב משהו כגון:

\[ \frac{4x^2 + 4xy+y^2}{2x+y} \]
 
נוכל להשתמש במשפט הראשון ובמקום המונה לכתוב את הדבר הבא (המכנה נשאר אותו הדבר):
\[ \frac{(2x+y)^2}{2x+y} \]
 
כעת נוכל גם לצמצם את המונה והמכנה ולקבל:
\[ 2x+y \]
 
הביטוי עכשיו הרבה יותר נחמד, מצומצם ואלגנטי!
 
אתם יכולים כעת לעשות את החלק השני בדף התרגילים על נוסחאות הכפל המקוצר.

לחשב במהירות הבזק

לא הרבה משתמשים בנוסחאות הכפל המקוצר למטרה זו, אבל למעשה – אפשר להשתמש בהם כדי לחשב דברים די במהירות! בחלק הקודם ראינו למה מעבר מביטוי שהפעולה הראשית שלו היא חיבור לביטוי שהפעולה הראשית היא כפל יכולה להועיל לנו (אפשר אז לצמצם!). נראה כעת את המעבר מפעולה ראשית שהיא כפל לזו שהיא חיבור, לצד השני של הנוסחה. נשתמש בזה כדי לחשב דברים במהירות הבזק.
 
לדוגמא, נניח ונרצה לדעת כמה זה \(14^2 \) בו השתמשנו מקודם. נשתמש בנוסחה הראשונה שלנו:
\[ 14^2=(10+4)^2=10^2+2 \cdot 10 \cdot 4 +4^2=100+80 +16=196 \]
 
נקח עוד דוגמא. נרצה לחשב כמה זה  \( 72^2 \). נוכל לכתוב:
\[ 72^2=(70+2)^2=70^2+2 \cdot 70 \cdot 2 + 2^2 = \]
\[ (7 \cdot 10)^2 +280+4= 7^2 \cdot 10^2 +284 = 4900+284=5184 \]
 
למעשה שתי נוסחאות הכפל המקוצר הראשונות הן מקרה פרטי של מה שנקרא הבינום של ניוטון שמכליל את ההעלאה בחזרה של ביטוי מורכב לכל \(n\) כלשהו. אבל על כך אולי אכתוב פוסט נפרד בעתיד.
 
נראה עוד דוגמא לחישוב מהיר כעת  באמצעות הנוסחה השלישית. נזכיר רגע מהי  \(a^2-b^2=(a+b)(a-b) \). נאמר ונרצה לדעת כמה זה \(200^2-199^2 \).  אוכל להשתמש בנוסחה השלישית כאשר \(a=200, b=199 \). אציב זאת ואקבל:
\[200^2-199^2=(200+199) \cdot (200-199)=399 \cdot 1= 399 \]
 
שימו לב כמה פשוט היה לחשב זאת! אילו הייתי צריך לחשב את \(200^2\), לחשב את \(199^2\) ולאחר מכן לחשב את ההחסר של השני מהראשון – הייתי צריך לעבוד הרבה יותר קשה!
 
אתם יכולים כעת לעשות את החלק השלישי בדף התרגילים על נוסחאות הכפל המקוצר.

הוכחת המשפט הראשון

נתחיל עם ההוכחה של המשפט הראשון. בהוכחה נתבסס על "חוק" הפילוג ("חוק" מכיוון שגם הוא משפט הניתן להוכחה. רוצים פוסט גם עליו? כתבו בתגובות). כיצד מוכיחים שיוויון? נתחיל עם האגף השמאלי (או הימני, איזה שתרצו) ובאמצעות סדרה של מהלכים לוגיים תקפים ושימוש באקסיומות או במשפטים קודמים שכבר הוכחנו – נצטרך להגיע לאגף השני של המשוואה. אם-כן, נתחיל בכתיבת האגף השמאלי של המשפט.

$ (a+b)^2 $

עכשיו נתרגם מה זה אומר בריבוע. עכשיו נשתמש באותו "חוק" הפילוג

$ a \cdot (b+c)=ab+ac $

אבל נתייחס לכל הביטוי עם הסוגריים השמאליים בתור האיבר השמאלי במשפט הפילוג (כלומר, בתור ה-a שלנו).

\[ (a+b)^2=(a+b) \cdot (a+b) \]

\[ (a+b) \cdot (a+b) = (a+b) \cdot a + (a+b) \cdot b \]

כעת שוב נשתמש ב"חוק" הפילוג ונקבל:

\[ a^2 +ab+ba+b^2 \]

בגלל תכונת החילופיות של הכפל נוכל לכתוב:

\[ a^2 +ab +ab+b^2 \]

שכן  \(ba=ab\) . כעת, כל שנותר לעשות הוא לחבר את אותם שני איברים והוכחת המשפט הסתיימה:

\[ a^2 +2ab+b^2 \]

הוכחת המשפט השני

הוכחת המשפט השני פשוטה להפליא שכן היא מתבססת כבר על המשפט הראשון. ברגע שהוכחנו משפט – ניתן להשתמש בו. שוב, נרשום קודם כל פשוט את האגף השמאלי:

\[ (a-b)^2 \]

כעת, נרצה להשתמש במשפט הכפל המקוצר הקודם שהוכחנו. נצטרך לשנות את שכתוב כדי שהוא יתאים לו. נשתמש בתכונה הבאה:

\[  a-b = a+(-b) \]

נציב זאת:

\[  (a-b)^2=(a+(-b))^2 \]

עכשיו אנחנו יכולים להשתמש במשפט שהוכחנו ולכתוב:

$ (a-b)^2=(a+(-b))^2= (a^2+2a(-b)+(-b)^2 =a^2 -2ab +b^2 $

ובא לציון גואל.

 הוכחת המשפט השלישי

 ראשית הנה הוא:
\[ a^2-b^2=(a+b) \cdot (a-b) \]

הוכחה:

שוב, נכתוב שוב אגף כלשהו, ונרצה אחרי סדרה של שיוויונות להגיע לאגף האחר. נבחר את האגף הימני ונשתמש (שוב) במשפט הפילוג (פעמיים):

\[ (a + b) \cdot (a-b) = (a+b) \cdot a – b \cdot (a+b) = a^2 + ab – ba -b^2 = \]

בגלל תכונת החילופיות של הכפל נוכל לכתוב:

\[ a^2 + ab -ab – b^2 = \]

נשים לפלא שקורה כעת:

\[ a^2 + 0 – b^2 = a^2 – b^2 \]

 
לסיכום, ראינו שהנוסחאות אינן סתם "נוסחאות" כי אם משפטים שיש להם הוכחה. ראינו את ההוכחות שלהם, וגם את התו המהותי שלהן (שינוי של הפעולה הראשית). לבסוף, גם ראינו איך אפשר להשתמש במשפטי הכפל המקוצר, גם לנושאים אריתמטיים מסובכים, וגם סתם לצורך חישוב מהיר.
 
יש לכם עוד שאלה? משהו לא ברור? רוצים לשמוע עוד? כתבו בתגובות.
עוד מאמרים לקריאה
תגובות
mail

השאר פרטים ואחזור אלייך

יש לך שאלה מתמטית
שאתה צריך בה עזרה?

כתוב אותה בפורום ואענה עליה בהקדם.