25 בדצמבר 2023
אין תגובות
אסף מנור
“איך לכתוב הוכחה במתמטיקה?”
“איך לגשת לכתיבת הוכחות במתמטיקה?”
סטודנטים ותלמידים רבים שואלים שאלות מעין אלו. התשובה להן זהה ואין זה משנה אם מדובר ברצון לכתוב הוכחה במתמטיקה אקדמית כמו תורת הקבוצות, אלגברה לינארית או חדו”א, ובין אם מדובר ברצון לכתוב הוכחה במתמטיקה במסגרת מתמטיקה תיכונית כמו בגיאומטריה.
השאלה היא כבר סימן טוב כי היא מניחה מצד השואל שכתיבת הוכחות הוא נושא שאפשר ללמוד. רבים אחרים פשוט מאמינים שזה משהו ש”או שיש לך אותו או שאין לך אותו”. והאמת היא שבאופן שמלמדים בדר”כ – זה לא מפתיע שבכך הם מאמינים. מדוע? מכיוון שלא מלמדים כתיבת הוכחות כנושא, ולא משנה אם מדובר בלימודים באקדמיה או לפני האקדמיה.
בוודאי שמראים לכם הוכחות, אבל לא מלמדים אתכם איך לכתוב הוכחות. זה לא אותו דבר להראות וללמד איך לעשות. ישנה ציפייה מצד המרצים והמורים (וזה במקרה הטוב שיש בכלל ציפייה) שהסטודנטים והתלמידים יצליחו לחקות את הפעולה שלהם ויצליחו לכתוב הוכחות בכוחות עצמם. אבל הציפייה הזו היא ריאלית כמו הציפייה שתלמדו איך לנגן על כינור מעצם זה שתצפו בכנר מנגן. וזה לא משנה אם תצפו בו במשך שעה או 10 שעות – אתם לא תלמדו ככה לנגן על כינור. וגם – לא הייתם בכלל מצפים להצליח ללמוד לנגן על כינור רק מעצם הצפייה באחר מנגן. לא היינו מקבלים זאת כצורת לימוד לגיטימית עבור נגינה. למה שנקבל זאת כצורת לימוד לגיטימית עבור הוראת המתמטיקה? אבל איכשהו כך הדבר התקבע.
אז נחזור להתחלה – אפשר ללמוד איך לכתוב הוכחות באופן מסודר וכנושא בפני עצמו. זה לא פשוט שיש לכם או לכם את זה. אם אתם מתקשים בכתיבת הוכחות – זה הגיוני, פשוט לא לימדו אתכם את זה. על-כן, שינינו את השאלה המקורית איתה התחלנו “איך לכתוב הוכחה במתמטיקה?” ל”איך ללמוד לכתוב הוכחה במתמטיקה?”.
אבל בואו ניקח רגע צעד אחורה ונשאל – הוכחות, למה? מדוע אנחנו צריכים הוכחות? כבר נגעתי בנושא בפוסט על מהי אקסיומה, אך אחזור ואעמיק בכך כאן. אנו נדרשים להוכחות מכיוון שנוכחנו שאנחנו טועים. שאנחנו כמין, כבני-אדם – טועים. וגם כיחידים, אני עם עצמי – טועה. זה המקרה הקל יותר. באיזשהו שלב בתהליך ההתבגרות שלנו הסרנו מעלינו את תום הילדות והתחוור לנו שבני-אדם אחרים לא רק טועים, אלא גם מטעים, ולעיתים בזדון. בקיצור – מרמים. או אז התחלנו לבקש נימוקים והוכחות לטענות של האחר והוא מצידו גם דרש זו מאיתנו. על-כן לא רק במתמטיקה אנחנו דורשים נימוקים והוכחות, אלא גם בחיי היום-יום, ואפשר לומר שהדבר קדם לדרישה בהוכחה במתמטיקה. גם בשאר תחומי הדעת והפרקטיקה אנו דורשים הוכחות ונימוקים – במדע, במשפט, בפוליטיקה, בעסקים, וכן – אפילו באהבה.
ההבדל בין ההוכחה הנדרשת במתמטיקה לבין זו שבשאר התחומים היא שבמתמטיקה אנו דורשים רמת וודאות אבסולוטית. בכל תחום – מתודת הוכחה שונה ודרגת וודאות שונה הנדרשת. ההוכחה במדע, להבדיל מזו שבתמטיקה, אינה וודאית. ההוכחות במדע הן הוכחות אמפיריות, שעוברות סף סטטיסטי מסויים של טעות. כלי ההוכחה במדע הוא הניסוי המדעי שאחד מהקריטריונים החשובים שלו היא האפשרות (ואף החובה) לשחזר את הניסוי שהצליח, שהדגים את אמיתות התיאוריה מעל סף סטטיסטי מסויים. בוודאי שתמיד ישנם מקרים שאינם מתיישבים עם התיאוריה, אך כל עוד הם זניחים ביחס לסך המקרים הכולל – התיאוריה הוכחה כאמיתית. אך גם אמיתיות זו מוטלת על בלימה; ייתכן שתבוא תיאוריה טובה יותר בהמשך שתכלול יותר מקרים ותחליפה.
גם בתחום המשפט נדרשים להוכחות. התביעה נדרשת להוכיח את אשמתו של הנאשם. במסגרת המשפט יש מה שנקרא דיון הוכחות. הכלי של התביעה להוכחת אשמה אינו הניסוי – על אף שבימי הביניים השתעשעו עם הרעיון הזה: אישה שהואשמה כמכשפה הוטבעה; אילו שרדה ולא טבעה למוות – אשמתה הוכחה והיא הוצאה להורג. ואם היא לא שרדה את ההטבעה? ובכן, היא נוקתה מאשמה… מערכת המשפט המודרנית מנסה להתעלות מעל ההיגיון המעוות הזה. עברנו מטביעות לתביעות. התביעה נדרשת להוכחה כאשר היא היא יכולה להסתמך אך ורק על לשון החוק, ראיות ועדויות. על התביעה לייצר טיעון ולבסס אותו. ועל אף זאת, הוכחה של אשמה אינה וודאית. על התביעה להראות את האשמה של הנאשם מעל ספק סביר. אין היא נדרשת להוכיח אשמה וודאית ואבסולוטית.
לעומת זאת במתמטיקה אנו נדרשים ל- ודורשים וודאות מוחלטת. איננו מקבלים נימוקים בהוכחות מתמטיות כגון “זה סביר לחשוב ש-…”, “המורה אמר שזה נכון”, “קראתי באינטרנט שזה נכון”, “בתנ”ך כתוב ש-“, “האינטואיציה שלי אומרת שזה נכון” וכו’ וכו’. כלומר, איננו מקבלים שום נימוק שמקורו בסמכות – בין אם מדובר בסמכות דתית, סמכות של מרות הוראה, מסורת וכו’ או נימוק שמקורו באינטואיציה, בשכל הישר וכו’.
מה אם כן יכול לתת לנו את הוודאות הזו? לוגיקה! כאשר נתון לי שהיום יום שלישי וגם יורד גשם ואני מסיק מכך שהיום יום שלישי – ההיסק הזה תקף בלי קשר האם הטענה הנתונה אמיתית באמת או לאו. ההיסקים הלוגיים אינם מתעניינים במצב העניינים במציאות, אלא רק במידה והם היו אמיתיים מה היה ניתן להסיק. כלומר, ההיסקים הלוגיים הם נגזרות אך ורק של החשיבה, אינם תלויים בעולם החיצוני ועל-כן וודאיים.
את המתמטיקה הייתי יכול להגדיר כ”לוגיקה+הגדרות”. ההגדרות (וכן האקסיומות) הן שנותנות לנו את החומר המתמטי, אולם למעשה כמעט כל הפעולה המתמטית שלנו, ובעיקר כאשר עוסקים במתמטיקה אקדמית (אבל גם בחלק מהנושאים הקדם-אקדמיים כמו גיאומטריה), היא פעולה לוגית טהורה.
ועל-כן, כדי ללמוד איך לכתוב הוכחות במתמטיקה הדבר החשוב ביותר שצריך ללמוד הוא לוגיקה. מי שניגש לכתוב הוכחות במתמטיקה מבלי שהוא יודע לוגיקה משול לבנאי שהולך לבנות בית בלי כלי עבודה.
מה אנו נדרשים ללמוד במסגרת לימודי הלוגיקה? הדבר הראשוני שנרצה ללמוד הוא את השפות הלוגיות הפורמליות. הסיבה שנרצה לעבוד עם שפות לוגיות פורמליות היא שהשפה הטבעית (כמו העברית) היא כר פורה לעמימות ודו-משמעות, ולמתמטיקה יש אלרגיה רצינית לכך. נראה דוגמא – אם אומר:
שתיים פלוס שלוש כפול חמש
מה אתם מבינים מכך? לכמה זה שווה?
אז כנראה שרובכם יאמר 25. זו בוודאי תשובה לגיטימית. אבל מה אם הייתי אומר לכם שזה שווה ל-17? מוזר?
באופציה הראשונה קראתם את שכתבתי בעברית כך
\[(2+3)\cdot 5\]
אולם באותה מידה הייתי יכול להבין את שכתבתי כך:
\[2+3\cdot 5\]
שזה שווה בוודאי ל-17! הנה דוגמא פשוטה איך השפה הטבעית היא כר פורה לעמימות, ולמה אנחנו כה סולדים מזה במתמטיקה. העמימות בשפה הטבעית במקרה דנן הוא ביחס לסדר פעולות החשבון. אבל, הדברים חייבים להיות חד-משמעיים מבחינתנו – לא יכול להיות שאותו שם-עצם (מה שבדר”כ מכנים ביטוי) יהיה שווה פעם אחת ל-17 ובפעם אחרת ל-25. מצאנו לכך פתרון במתמטיקה על-ידי זה שבמקום לומר “שתיים פלוס שלוש כפול חמש” אנחנו כותבים את הדברים על-ידי סימנים, ויותר מכך יש לנו סוגריים וכללים בנוגע לסדר פעולות החשבון שגורמים לכך שכל מה שננסח במסגרת השפה הפורמלית של המתמטיקה יהיה חד-משמעי.
לאורך ההיסטוריה האדם המציא את השפה הפורמלית מתמטית כדי להימנע מהטעויות שהשפה הטבעית טומנת לו, כפי שהראיתי לעיל. אנשים לא יודעים זאת, כי מלמדים מתמטיקה בדר”כ בצורה שטוחה וללא שום קונטקסט היסטורי, כאילו המתמטיקה נפלה במעמד הר סיני לאדם ביחד עם עשרת הדיברות, וכאילו היא נצחית ובלתי-משתנה, אבל האמת היא רחוקה מאוד מכך. המתמטיקה השתנתה מאוד לאורך ההיסטוריה של האדם. לדוגמא, סימן השיוון = הומצא רק ב-1575 על-ידי המתמטיקאי הבריטי רוברט רקורד. עד אז מתמטיקאים היו פשוט כותבים “שווה ל-” (מן הסתם בשפתם, שלרוב לא הייתה עברית).
אבל העמימות והדו-משמעות של השפה הטבעית אינה רק ביחס לשמות-עצם מתמטיים (מה שבדר”כ קוראים “ביטויים”) כפי שראינו לעיל, אלא גם ביחס לטענות. נסתכל על דוגמא:
אם היום יום שלישי, אז הולכים לים וגם אוכלים גלידה
מה אתם מבינים מהטענה הזו?
כנראה שרבים מכם אומרים – שבימי שלישי הולכים לים ואוכלים גלידה. זה בהחלט פרשנות לגיטימית. אבל ישנה גם דרך נוספת להבין זאת – שבימי שלישי הולכים לים… וגם בכל מקרה אנחנו אוכלים גלידה. כלומר, המשמעות הראשונה היא כזו:
אם היום יום שלישי, אז (הולכים לים וגם אוכלים גלידה)
והשנייה היא זו:
(אם היום יום שלישי, אז הולכים לים) וגם אוכלים גלידה
בדיוק באותו האופן שבו השפה הטבעית היתה עמומה מקודם ביחס לסדר פעולות החשבון גם כאן היא עמומה ביחס לסדר הפעולות הלוגי (כן גם בלוגיקה יש פעולות).
בדיוק מסיבה של ניסיון להימנע מהעמימות של השפה הטבעית לוגיקאים המציאו שפות לוגיות פורמליות, שבהן נוכל לנסח את הטענות שלנו באופן חד-משמעי, טענות כמו הטענה שטענו לעיל, וגם טענות מתמטיות כגון “בכל משולש סכום הזוויות הוא 180 מעלות” או “הקבוצה הריקה היא תת-קבוצה של כל קבוצה”.
על-כן, המשימה הראשונה בלימודי הלוגיקה היא לימוד של השפה הלוגית הפורמלית וכיצד לתרגם טענות משפה טבעית לשפה הפורמלית (ובחזרה). זה יאפשר לנו לנסח את הטענות שלנו בצורה מדוייקת, ללא עמימות או דו-משמעות.
לאחר שלמדנו את השפה הפורמלית ניתן להתקדם ללימוד הכלי החשוב ביותר לצורך כתיבת הוכחות – כללי ההיסק. אמרתי מקודם שלגשת לכתוב הוכחה במתמטיקה מבלי לדעת לוגיקה משול לבנאי שפונה לבנות בית ללא כלי עבודה. בהמשך למטאפורה הזו – כללי ההיסק הם אחד הכלים החשובים ביותר. כללי ההיסק קובעים עבורנו מה ניתן ממה. מדוע אנו צריכים כללים פורמליים שיגידו לנו מה ניתן להסיק? הרי יש לנו שכל על הכתפיים והייתם יכולים להתלונן בפני שהדבר מהווה זלזול שלא לצורך. נשים תלונה זו רגע בצד ונסתכל על הדוגמא הבאה. בהינתן זה שנתונות לכן שתי הטענות הבאות (כלומר שמונח לכם שהן אמיתיות):
מה ניתן להסיק? תנו לזה 5 שניות ותענו את תשובתכם.
.
.
.
.
אם אמרתם “לא הולכים לים” אז אתם בחברה טובה – זה מה שרוב האנשים אומרים. אבל מדובר בטעות! חשבו על זה רגע לעומק – מדוע זו טעות?
.
.
.
.
מכיוון שלא קבענו מה קורה בימים שאינם ימי שלישי. כל מה שנתון לנו ושאנו בטוחים בו זה שבימי שלישי הולכים לים. אבל בכל יום אחר? אולי נלך ואולי לא. לא נקבע עבורנו שום דבר ביחס לכך.
זוהי דוגמה לטעות לוגית קלאסית. טעות זו מדגימה לנו מדוע אנו מעוניינים בכללי היסק. גם כאן השפה הטבעית היא כר פורה לטעות. קל מאוד להתבלבל ביחס להיסקים הלוגיים בשפה הטבעית. אבל כשיש לנו כללים לוגיים שקובעים עבורנו מה ניתן להסיק בכל מצב – אנחנו יכולים למנוע טעויות. בנוסף, אנחנו לא צריכים כל פעם לפשפש בקודקודינו ולחשוב מה ניתן להסיק – פישפוש שפעמים רבות סטודנטים ותלמידים חוזרים ממנו בידיים ריקות, אלא יש לנו כללים ברורים שאומרים לנו מה ניתן להסיק. לא צריך להמציא את הגלגל כל פעם והעניינים נהיים מכניים. בוודאי שלא מדובר רק בפעולות אוטומטיות. אין לנו אלגוריתם ידוע מראש לכתיבת הוכחות, אבל ברגע שיש לנו סל כלים – החיים נהיים הרבה יותר פשוטים.
מעבר לכללי היסק נרצה ללמוד כללי אצבע. מהם כללי אצבע? מה זה בכלל הביטוי הזה? מקורו בביטוי האנגלי Rule of Thumb. המעשייה מספרת שהביטוי נגזר מאותם מלאכות שבהם המדידות נעשו שלא על-ידי סרגל, אלא על ידי מדידה לפי אורך האגודל, כלומר שהדברים לא היו מדוייקים. אנחנו משתמשים בביטוי הזה בהקשר הלוגי-מתמטי באופן דומה – מדובר בכלל פרקטי, שבדר”כ נרצה להשתמש בו, אבל הוא לא כלל קטגורי של ציווי שתמיד במצב זה וזה נעשה ככה וככה. כללי האצבע בעצם נותנים לנו אסטרטגיות אפשריות ו”הגיוניות” מאוד לשימוש בכללי ההיסק בהינתן מצב מסויים. השימוש בכללי האצבע מאפשרים לנו לממש את כללי ההיסק בצורה יעילה ופרקטית. כללים סתם – לא עוזרים יותר מדי. בגלל זה גם פעמים רבות סטודנטים ותלמידים יודעים את הדברים באופן תיאורטי, אך לא יודעים ליישם אותם באופן פרקטי. אבל מה שחשוב הוא היישום. מנגד, בוודאי שאי-אפשר היה ליישם את הדברים באופן פרקטי מבלי לדעת את הכללים באופן תיאורטי. זה השילוב הטוב שמייצר את הפעולה הנכונה.
| טענה | נימוק | |
| 1. | \(\alpha\) | הנחה |
| 2. | \(\beta\) | הנחה |
| \(\vdots\) | ||
| n. | \(\omega\) |
במסגרת לימודי הלוגיקה אנחנו לומדים איך לכתוב הוכחות לוגיות טהורות, ללא שום תוכן, בין אם תוכן יומיומי (כמו “אם היום יום שלישי…”) ובין אם תוכן מתמטי. לצורך לימוד הנושא נדרשת עבודה רבה. ישנן הוכחות לוגיות מאתגרות מאוד וצריך לבנות את הדברים עקב בצד אגודל. מה גם שאין סיבה להפיל את כל כללי ההיסק באחת ואז לנסות לכתוב הוכחות לוגיות, אלא עדיף ללמוד 3-2 כללים ולתרגל הוכחות הקשורות אליהן, ולאט לאט להוסיף עוד כללים ולעבור להוכחות מתקדמות יותר.
רק לאחר סיום עבודת ההוכחה הלוגית הטהורה הזו ניתן להתקדם לכתיבת הוכחות במתמטיקה. זה בלתי-אפשרי ללמוד איך לכתוב הוכחות במתמטיקה מיד עם התוכן המתמטי; הדברים מורכבים מדי לשם כך.למה הדבר משול? שאדם שאינו יודע לנגן על פסנתר יגיע לשיעור נגינה ראשון וידרוש מהמורה ללמוד לנגן סונטה של מוצרט. הרצון הוא טוב ויפה, אך הדבר בלתי-אפשרי וסופו להסתיים במפח נפש. צריך להתחיל מדברים פשוטים ובהדרגה לבנות אותם. ועל-כן ראשית לומדים לוגיקה. לאחר סיום לימוד הלוגיקה אפשר להתחיל בלימוד היישום של הכלים הלוגיים במסגרת כתיבת הוכחות במתמטיקה.
נשתמש באותו מבנה שראינו לעיל של כתיבת הוכחה לוגית. כפי שאמרתי – מתמטיקה היא “לוגיקה+הגדרות”. המתמטיקה היא התוכן שניצק בתוך המסגרת הלוגית. אולם, מכיוון שאנו עוסקים בהוכחות במתמטיקה, ולא בלוגיקה טהורה, נקבל בתור נימוק לא רק את כללי ההיסק, אלא גם 3 סוגי נימוקים נוספים:
אמרתי מקודם שמבנה הכתיבה של ההוכחות בוודאי מזכיר לכם את צורת הכתיבה שבה מלמדים לכתוב הוכחות בגיאומטריה, שכן גם שם נדרשים לטבלה של שתי עמודות – טענות ונימוקים. אולם, האופן שבו מציגים הוכחות בגיאומטריה במערכת החינוך לוקה בחסר. פעמים רבות הנימוקים אינם לוגיים טהורים, אלא מסתמכים על אינטואיציה. אולם הדבר נכון לא רק ביחס להוכחות שמוצגות במערכת החינוך, אלא אפילו ב”יסודות” ספרו של המתמטיקאי הדגול אוקלידס ישנן הוכחות שמוצגות תוך כדי “חיפוף” על הנימוקים הלוגיים והסתמכות על האינטואיציה ועל השרטוט. זוהי הביקורת העיקרית של הילברט על אוקלידס (ראו הפוסט מהי אקסיומה?).
הבעיה השנייה באופן שבו מציגים הוכחות בגיאומטריה במערכת החינוך היא שלא מלמדים את התלמידים מהי אקסיומה ולא מציגים את הגיאומטריה כמערכת אקסיומטית. בתוך כך, חלק מהטענות מוכחות ועל-כן נקראות בדין משפטים, בעוד שחלק אחר אינן מוכחות…אולם עדיין נקראות משפטים, למרות שנכון היה לקרוא להן אקסיומות.
הבעיה השלישית והקשה מכולן היא זו שהתחלתי איתה את הפוסט – לא מלמדים את התלמידים איך לכתוב הוכחות, לא מלמדים אפילו גרם אחד של לוגיקה, מציגים בפני התלמידים הוכחות רבות ותו לאו ומתפלאים שהם אינם מצליחים לעשות כך בכוחות עצמם.
הגם שיש בעיות רבות באופן שבו מציגים הוכחות במערכת החינוך אפשר לזקוף לזכותם את הכתיבה המסודרת של טבלה עם עמודת טענות ועמודת נימוקים. זה כבר מייצר סדר ומבנה. באופן אבסורדי דווקא באקדמיה – הבלאגן שולט. לא משנה באיזה קורס מדובר – לינארית, חדו”א, בדידה, תורת הקבוצות וכו’ וכו’, ולא משנה באיזה מוסד מדובר – ההוכחות שמוצגות לסטודנטים על-ידי המרצים והמתרגלים כתובות בשפה טבעית בצורת סיפור. אין את המבנה היפה של טבלה עם עמודת טענות ועמודת נימוקים. למעשה, ובאופן אבסורדי, על אף שביחס לסטודנטים מופנת תדיר האשמה מצד סגלי ההוראה שהם אינם מנמקים את טיעוניהם, אלה דווקא ההוכחות שמוצגות להם על-ידי סגלי ההוראה שאינן מנומקות מבחינה לוגית. הנימוק העיקרי המוצג הוא מה שאני אוהב לכנות לנל”ש – לכן ניתן לומר ש-, על שלל הווריאציות שלו (“לכן”, “על כן”, “קל לראות ש-“, נשמע לכם מוכר?). מעבר לכך שמדובר בכתיבה שאינה ריגורזית היא מקשה על הסטודנט הלומד הן בהבנה של ההוכחה המוצגת והן ביחס ליכולת (המוגבלת בכל מקרה) לחקות את שסגל ההוראה מראה לו.
זו על-כן בעיה אחת באופן שבו “מלמדים” את נושא ההוכחות באקדמיה. הבעיה הקשה יותר היא זו שציינתי בהתחלה – שלא מלמדים את נושא כתיבת ההוכחות כנושא בפני עצמו, ואף על פי כן דורשים מהסטודנט לכתוב הוכחות לרוב. לימוד הלוגיקה הוא דל ביותר ומושמט ממנו החלק העיקרי של מערכת ההוכחה. מעבר לכך, אפילו עם מה שכן נלמד – לא מראים את האופן שבו הלוגיקה משרתת אותנו במסגרת הוכחות במתמטיקה.
התוותי בפניכם את הדרך שבה יש ללכת במסגרת הלימוד של כתיבת הוכחות במתמטיקה. עברנו מהשאלה “איך לכתוב?” לשאלה “איך ללמוד?”, שכן זה לא משהו שיכול להיפתר בפוסט אחד. אין איזה מטה קסם שתוך שנייה הכל מסתדר. אם היה – הייתי כותב זאת עבורכם. מנגד, זה לא שאין מה לעשות בנוסח “או שיש לך את זה, או שאין לך את זה”. אדרבה! יש הרבה מה לעשות. כפי שאמרנו ראשית יש ללמוד לוגיקה בצורה רצינית ורק לאחר מכן לשלב את המתמטיקה ולראות כיצד הלוגיקה משרתת אותנו במסגרת המתמטיקה. זה לא זבנג וגמרנו, אלא דרך ארוכה, אך בטוחה – כזו שבסופה לסטודנט ולתלמיד יהיה את כל הכלים כדי להצליח לכתוב הוכחות במתמטיקה.
אם אתם רוצים ללמוד באופן רציני כיצד לכתוב הוכחות במתמטיקה אני מציע לכם ללמוד עם הקורס שלי כתיבת הוכחות. הוא טוב לכל מי שרוצה ללמוד איך לכתוב הוכחות בכוחות עצמו. מי שמעוניין להצליח לכתוב הוכחות בלינארית, חדו”א, בדידה, תורת הקבוצות או כל קורס מתמטי אקדמי אחר – ראוי שילמד בקורס כתיבת ההוכחות ולאחריו יקנח בקורס כתיבת הוכחות בתורת הקבוצות. מי שעדיין לא התחיל את הלימודים באקדמיה אני מציע לו ללמוד בקורס הכנה לשנה א’, שבו יקבל את הכלים הנדרשים לצורך כתיבת הוכחות בקורסים המתמטיים שייתקל בתואר.
בהצלחה!
אהבתם? שתפו
אל תפספסו
הרשמו לניוזלטר המתמטי הכי טוב בארץ
contact at assafmanor.co.il
שינקין 92, גבעתיים
הירשמו לרשימת התפוצה לקבלת כל המאמרים והעידכונים.