זהויות טריגונומטריות

זהויות טריגונומטריות הן חלק מרכזי מאוד מעבודתו בטריגונומטריה. ששם זה לא יטעה אתכם – בזהויות הכוונה לתיאורמות (מה שמכונה בעברית משפטים). כלומר, כל זהות כזאת ניתנת להוכחה והוכחת חלק מהזהויות עושה שימוש כבר בזהויות אחרות שהוכחו. כל זה חלק ממה שנקרא מערכת אקסיומטית (קראו עוד על מהי אקסיומה). הוכחה של זהויות נותנת לנו שליטה טובה מאוד בנושא, ולכן אני ממליץ לכם מאוד להוכיח את הטענות.

אני ממליץ מאוד לשנן את הזהויות. זה ייתן לכם שליטה טובה בחומר. כתבתי מאמר על חשיבות השינון.

זהויות טריגונומטריות בסיסיות

$ \sin (\alpha)=\cos (\frac{\pi}{2} – \alpha) $

$ \cos (\alpha)=\sin (\frac{\pi}{2} -\alpha) $

$ \tan (\alpha)= \frac {\sin (\alpha)}{\cos (\alpha)} $

$ \sin ^2 (\alpha) +\cos^2 (\alpha) = 1$

$ \sin (-\alpha)=-\sin (\alpha) $

$\cos (-\alpha)=\cos (\alpha) $

מחזוריות של הפונקציות הטריגונוטריות

הטענות הללו נכונות עבור כל k שהוא מספר שלם:

$ \sin (\alpha) = \sin (\alpha + 2\pi k) $

$ \cos (\alpha)=\cos(\alpha+ 2\pi k) $

$ \tan (\alpha)= \tan (\alpha +\pi k) $

זהויות טריגונומטריות של סכום והפרש

$ \sin (\alpha \pm \beta) = \sin (\alpha) \cos (\beta) \pm \ cos (\alpha) \sin (\beta) $

$ \cos (\alpha \pm \beta) = \cos (\alpha) \cos (\beta) \mp \sin (\alpha) \sin (\beta) $

$ \tan (\alpha +\beta )=\frac {\tan \alpha + \tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta} $

$ \tan (\alpha – \beta )=\frac {\tan \alpha – \tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta} $

זהויות של זווית כפולה

$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha $

$\cos 2\alpha = \cos ^2 \alpha – \sin ^2 \alpha = 2 \cos^2\alpha -1 =1-2\sin^2 \alpha $

$ tan 2\alpha = \frac {2 \tan \alpha }{1-\tan ^2 \alpha} $

זהויות של סכום והפרש (בין שתי פונקציות)

נשים לב שבניגוד לפונקציות של הסכום וההפרש ששם מדובר היה בסכום והפרש בתוך הסוגריים, כאשר מדובר בסכום והפרש בין שני ביטויים עם פונקציה טריגונומטרית:

$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $

$\sin \alpha -\sin \beta =2\sin \frac{\alpha-\beta}{2} \cos \frac{\alpha+\beta}{2} $

$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $

$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2} $

זהויות טריגונומטריות של מחצית הזווית

$ \sin ^2 \frac {\alpha}{2} = \frac {1-\cos \alpha}{2} $

$ \cos ^2 \frac {\alpha}{2} = \frac {1+\cos \alpha}{2} $

 

השאירו פרטים

ואחזור אליכם בהקדם

רוצים להיות כוכבי מתמטיקה?

הירשמו לרשימת התפוצה לקבלת כל המאמרים והעידכונים.

קורס הכנה לשנה א' במדעי המחשב והנדסה