זהויות טריגונומטריות הן חלק מרכזי מאוד מעבודתו בטריגונומטריה. ששם זה לא יטעה אתכם – בזהויות הכוונה לתיאורמות (מה שמכונה בעברית משפטים). כלומר, כל זהות כזאת ניתנת להוכחה והוכחת חלק מהזהויות עושה שימוש כבר בזהויות אחרות שהוכחו. כל זה חלק ממה שנקרא מערכת אקסיומטית (קראו עוד על מהי אקסיומה). הוכחה של זהויות נותנת לנו שליטה טובה מאוד בנושא, ולכן אני ממליץ לכם מאוד להוכיח את הטענות.
אני ממליץ מאוד לשנן את הזהויות. זה ייתן לכם שליטה טובה בחומר. כתבתי מאמר על חשיבות השינון.
$ \sin (\alpha)=\cos (\frac{\pi}{2} – \alpha) $
$ \cos (\alpha)=\sin (\frac{\pi}{2} -\alpha) $
$ \tan (\alpha)= \frac {\sin (\alpha)}{\cos (\alpha)} $
$ \sin ^2 (\alpha) +\cos^2 (\alpha) = 1$
$ \sin (-\alpha)=-\sin (\alpha) $
$\cos (-\alpha)=\cos (\alpha) $
הטענות הללו נכונות עבור כל k שהוא מספר שלם:
$ \sin (\alpha) = \sin (\alpha + 2\pi k) $
$ \cos (\alpha)=\cos(\alpha+ 2\pi k) $
$ \tan (\alpha)= \tan (\alpha +\pi k) $
$ \sin (\alpha \pm \beta) = \sin (\alpha) \cos (\beta) \pm \ cos (\alpha) \sin (\beta) $
$ \cos (\alpha \pm \beta) = \cos (\alpha) \cos (\beta) \mp \sin (\alpha) \sin (\beta) $
$ \tan (\alpha +\beta )=\frac {\tan \alpha + \tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta} $
$ \tan (\alpha – \beta )=\frac {\tan \alpha – \tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta} $
$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha $
$\cos 2\alpha = \cos ^2 \alpha – \sin ^2 \alpha = 2 \cos^2\alpha -1 =1-2\sin^2 \alpha $
$ tan 2\alpha = \frac {2 \tan \alpha }{1-\tan ^2 \alpha} $
נשים לב שבניגוד לפונקציות של הסכום וההפרש ששם מדובר היה בסכום והפרש בתוך הסוגריים, כאשר מדובר בסכום והפרש בין שני ביטויים עם פונקציה טריגונומטרית:
$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $
$\sin \alpha -\sin \beta =2\sin \frac{\alpha-\beta}{2} \cos \frac{\alpha+\beta}{2} $
$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $
$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2} $
$ \sin ^2 \frac {\alpha}{2} = \frac {1-\cos \alpha}{2} $
$ \cos ^2 \frac {\alpha}{2} = \frac {1+\cos \alpha}{2} $
אל תפספסו
הרשמו לניוזלטר המתמטי הכי טוב בארץ
contact at assafmanor.co.il
שינקין 92, גבעתיים
הירשמו לרשימת התפוצה לקבלת כל המאמרים והעידכונים.