מהי אקסיומה?



מאת: אסף מנור


אקסיומה היא מילת קסמים. היא המילה החסרה, בדר"כ, בלימודי המתמטיקה. היא עושה סדר בכל ובלעדיה התלמיד נתון בבלאגן ובחוסר בהירות בנוגע לעולם בו הוא פועל. בקיצור, אקסיומה נותנת לנו אוריינציה.

מהי אקסיומה? ראשית, אקסיומה היא טענה. ומה זו טענה? טענה היא משפט שניתן לייחס לו ערך-אמת. דוגמא לטענה - היום יום שלישי; או לחילופין - יש איש קטן וירוק על מאדים. כלומר, טענה היא משפט שאנחנו יכולים לטעון לגביו האם הוא מתקיים במציאות או לאו, כלומר האם הוא אמיתי או שקרי. אין זה נכון בנוגע לכל המשפט. דוגמא למשפט כזה יכול להיות - "מה השעה?".

אולם אקסיומה היא איננה רק טענה כמו כל האחרות. לא ולא. אקסיומה היא טענה מסוג מיוחד. היא טענה כל כך בסיסית, כל כך פשוטה, שאין מקום להוכיחה או לתת נימוקים לאמיתותה. דוגמא לאקסיומה יכול להיות – כל מספר שווה לעצמו (לכל a שהוא מספר כלשהו a=a); או לחילופין - כל מספר ועוד אפס שווה לאותו מספר (לכל a שהוא מספר כלשהו a+0=a). את כל יתר הטענות המתמטיות שלנו אנחנו נוכיח מהאקסיומות באמצעות ההיגיון, כלומר באמצעות כללי היסק, שיהיו ברורים ומוסכמים.

אנחנו יכולים, לכן, לחלק את כל הטענות המתמטיות לשניים – אקסיומות, שמונחות ללא הוכחה; ומשפטים אותם אנחנו מוכיחים מהאקסיומות. זהו המבנה האקסיומטי של המתמטיקה. בכל תחום מתמטי שניקח – בין אם מדובר באלגברה, בגיאומטריה, בחדו"א, בתורת הקבוצות וכו' – אנחנו נניח מספר מצומצם של אקסיומות, כלומר, טענות בסיסיות שנסכים עליהן שהן אמיתיות, ונקבל אותן ככאלה ללא צורך בהוכחה. את כל יתר הטענות אנחנו נוכחים בהתבסס על אותן טענות יסוד אקסיומטיות וכללי הלוגיקה.

את המבנה האקסיומטי הזה של המתמטיקה ניתן להמשיל למבנה של בנין. ביסודות, בבסיס בבסיס, בשלב האפס, יש לנו הגדרות (לדוגמא בגיאומטריה – מהי נקודה ומהו ישר, מהו משולש ומהו מרובע). בקומה מעל, בקומה הראשונה, יש לנו את כל האקסיומות שלנו. בקומה השנייה יש לנו משפטים שהוכחו אך ורק בשימוש באקסיומות. בקומה השלישית יש לנו משפטים כבר שהוכחו באמצעות האקסיומות, אך גם באמצעות משפטים בקומה השנייה. וכו' הלאה... לכן, למתמטיקה קשר הדוק עם ענייני הבנייה וההבניה. לא רק בגיאומטריה, שבא לידי ביטוי בבניות עזר למיניהן, אלא התחום כולו. מתמטיקה הוא לא דבר קיים, אלא דבר שנבנה, נבנה בעמל.

אחרי שכבר הוכחנו כמה משפטים, אנחנו כנראה לא נוכיח את הדברים תמיד ישירות מהאקסיומות, אלא נסתמך כבר על משפטים שכבר הוכחנו, שכן הוכחה רק מהאקסיומות תהיה סיזיפית וקשה הרבה יותר. אם הצלחנו לבנות טרקטור, אזי כדאי שנשתמש בו לחרוש את השדה ולא נמשיך להשתמש במעדר. באותו האופן – אם הוכחנו משפט, כדי שנעשה בו שימוש. אבל בעיקרו של דבר – כל משפט שהוכחנו מקבל את תוקפו מהאקסיומות, והיינו יכולים לכתוב הוכחה (ארוכה הרבה יותר) שהייתה מראה את נכונות המשפט אך ורק מהאקסיומות.

למה הדבר דומה? לכתיבת קוד באמצעות שפת תכנות כלשהי, נאמר ג'אווה. כאשר אנחנו כותבים בג'אווה זה כאילו אנחנו משתמשים במשפטים ללא אקסיומות. שימוש באקסיומות בהקשר הזה של תכנות היה להשתמש בשפת מכונה, ב-0 ו-1 שזה האופן בו מחשב פועל. אבל זה היה מאוד מעייף לכתוב ככה! לכן, אחרי שכותבים קוד בכל שפת תכנות כלשהי יש רכיב שנקרא קומפיילר שממיר את השפה התכנותית לשפת מכונה. באותו האופן – היינו יכולים לבנות קומפיילר שהיה ממיר את ההוכחה שלנו שמסתמכת על משפטים שכבר הוכחו ועבור כל משפט כזה מציב את ההוכחה שלו. ככה היינו מקבלים הוכחה (ארוכה הרבה יותר) שהייתה מסתמכת אך ורק על האקסיומות.

פעמים רבות תלמידים רוצים להבין למה. אלה לאו דווקא תלמידים מצטיינים. אלה יכולים להיות תלמידים שמתקשים. ודווקא בגלל זאת ששאלתם לא מקבלת מענה הם מתקשים, מכיוון שהם רוצים לדעת – למה. מורה רושם "כלל" או "חוק" והם רוצים לדעת – למה החוק הזה. מכיוון שלא מלמדים מתמטיקה בדר"כ באופן אקסיומטי ומדברים על "כללים", אזי נהיה לתלמידים סלט אחד גדול. הם אינם מבינים מדוע את הטענה הזאת מוכיחים ואת זאת לא. המתמטיקה אז נהיית להם חסרת צורה וחסרת היגיון. וזאת בעוד שבפועל מתמטיקה הוא התחום של הצורה הפשוטה והברורה ביותר!

מה הבעיה בלהשתמש במושג של "כלל" או "חוק"? שפעמים רבות הכללים הללו הם משפטים שניתנים להוכחה. אז הבקשה של התלמיד לגבול, לגבול לשאלה שלו - למה - לא מקבלת מענה. אנחנו נשים לזה סוף. התשובה שלנו תהיה – כל דבר שהוא איננו אקסיומה צריך לקבל הוכחה. ומה לגבי האקסיומה? אותה לא צריך להוכיח, אנחנו מניחים אותה כאמיתית. למה? ככה! זהו אותו ככה שהאב אומר לבנו כאשר זה מנסה אותו. וזה גם, בסופו של דבר, הצידוק לתקפותו של החוק. אפשר לתת הרבה מאוד נימוקים ללמה ראוי וכדאי לשלם מיסים – שהדבר נכון מבחינה חברתית, שמדובר באופן לצמצם פערים, שיש צורך בתשלום ע"מ לקבל שירותים מהמדינה וכו' הלאה. עבור כל חוק יש את הרציונל שלו. אלו כמו דברי הנימוסין לשכך מעט את החד-משמעיות של החוק. אך בסופו של דבר, כאשר נדחוק את איש החוק לפינה, הלה יאמר – "כי זה החוק"! יש פעמים שמאחורי הקושי של תלמידים עם המתמטיקה מתחבא סירוב לעניין החוקיות. לחד-משמעיות שמאפיינת את המתמטיקה. גם במדינת המתמטיקה ישנם סרבים, ולעיתים אף עבריינים.

99.9% מהתלמידים לא שמעו לא על המושג אקסיומה ולא לימדו אותם באופן אקסיומטי. לכן, כאשר אני אומר שאני מלמד מהיסודות, אין להסיק מזה שמדובר בחזרה על דברים שכבר נלמדו, שכן אלה חסרים לכל התלמידים. אכן אבסורדי הוא שדווקא הדברים הפשוטים והיסודיים ביותר לא נלמדים והם בחזקת נעלמים.




רוצה לקבל עוד מאמרים כאלה?

הצטרף לרשימת התפוצה שלנו


רוצה לקבל עוד מאמרים כאלה?

הצטרף לרשימת התפוצה שלנו