מהי אקסיומה?

אקסיומה היא מילה המודרת מרוב לימודי המתמטיקה במערכת החינוך ולעיתים קרובות גם באקדמיה. אולם למעשה מדובר במושג מפתח להבנת המהות של המתמטיקה. יותר מכך - לימוד באופן אקסיומטי מקל על עבודת הלמידה, מייצר לתלמיד אוריינטציה והוא גם פשוט מעניין יותר. זוהי המתמטיקה האמיתית.
אקסיומה - היסודות של אוקלידס

תוכן עניינים

כאשר משתמשים ביום-יום במונח אקסיומה מתכוונים לטענה שאנו מניחים ללא צורך בנימוק או הוכחה. לדוגמא, אדם יכול לומר לחברו "אני הכי מהיר בשכונה, קח זאת כאקסיומה". דהיינו, קח זאת כעובדה מבלי צורך להוכיח זאת. נבהיר רגע מהי טענה ונבדילה ממשפט בכלל. טענה היא משפט שניתן לייחס לו ערך-אמת, כלומר לומר עליו אמת או שקר. דוגמא לטענה – היום יום שלישי. עוד דוגמא – 1=2. זו טענה שקרית, אך זו עדיין טענה. לא כל המשפטים הם טענות. דוגמא למשפט שאיננו טענה יכול להיות – "מה שלומך?".

נחזור לאקסיומה. אמרנו שמדובר בטענה שאנו מניחים ללא הוכחה או נימוק. קובעים אותה ואומרים "ככה זה". המילה אקסיומה מגיעה אלינו במקורה הקדום ביותר מן היוונית, שם משמעה "סמכות" או באופן מילולי "מה שמעריכים כראוי". אפשר להבין איך משמעות זו מתאימה למשמעות של אקסיומה שתיארנו לעיל.

הדרישה להוכחה

ראינו, על-כן, שהמונח אקסיומה עלה מיד בהקשר של הוכחה או נימוק ואנו פטרנו את עצמנו מהצורך להוכיח מה שאנו קראנו לו אקסיומה. השאלה לרגע עולה – למה להוכיח בכלל? ובכן, כאשר בני-אדם מעלים טענות, בין אם אחד כלפי השני, ובין אם אדם כלפי עצמו הם דורשים נימוקים והוכחות למה שנטען, כמובן, למעט התמימים. אם אדם יאמר "יש חיים מחוץ לכדור-הארץ" נרצה לשמוע את נימוקיו לכך ונבקש שהוא ישכנע אותנו בנידון. כנ"ל הדבר נכון גם בתחום המשפט. כאשר אדם מואשם ברצח, לדוגמא, לא מספיקה האשמה – צריך לבסס אותה. כל ההליך המשפטי נועד ע"מ להוכיח או להפריך את התיזה של התביעה – האם אדון פלוני הוא אשם או זכאי במעשה הזה? התביעה מעלה את נימוקיה וטיעוניה לאשמת הנתבע בעוד ההגנה מנסה לפורר את תקפות הטיעונים של התביעה. הכלים העיקריים להוכחה או להפרכה במסגרת ההליך המשפטי הן ראיות, עדויות ולשון החוק.

הצורך בהוכחה איננו מתקיים רק במסגרת ההליך המשפטי. אפשר לראות שזה מתקיים כמעט בכל שדה של פעילות אנושית, באופנים שונים. גם במדע אנו נבקש הוכחות להיפותזות שיועלו, הוכחות שיסופקו באמצעות ניסויים. לדוגמא, אם מישהו יאמר שעבור מי שמחלים מקורונה תוחלת החיים עולה בממוצע ב-5 שנים. האם אנו יודעים שטענה זו מתקיימת? ממש לא; נדרשת הוכחה לטענה זו. נשים לב שבתחומים שונים מתודת ההוכחה והנימוק שלנו היא שונה. ההוכחה במסגרת המשפט איננה אותה הוכחה במסגרת המדע, והוכחה אחרת לחלוטין היתה מתקבלת במסגרת מחקר היסטורי וכו'.

למה אקסיומה? ככה

משהבהרנו דברים אלו נוכל לרדת לשורש העניין ולשאול לא מהי אקסיומה, אלא למה אקסיומה? מדוע שנרצה שבמסגרת הוכחות שלנו יהיו טענות שלא נצטרך להוכיח אותם. נענה על כך בסיפור, שעיקרו די נפוץ. ילד קטן משוחח עם אביו:

– אבא, למה צריך ללכת לגן?

מכיוון שבגן אתה לומד ופוגש חברים חדשים.

– אה כן, אבל למה צריך ללמוד?

ושוב האב עונה "כדי שתהיה חכם".

– ולמה להיות חכם?

כדי שתוכל לשאול עוד שאלות.

– ולמה…?

ככה!

– אהה ככה, למה ככה?

ככה!

הורים מכירים את השלב שבו הילד לא מפסיק לשאול למה, ואם האב באמת אב הוא מתישהו יענה "ככה". הככה שם מעצור לאינסופיות של שאלת הלמה. אקסיומה מתפקדת באותו האופן. לולא האקסיומה היינו נדרשים לרגרסיה אינסופית של נימוקים. אף פעם לא היינו מגיעים לסוף של ההוכחה שלנו. האקסיומה קובעת עבורנו סוף. למעשה, היא גם קובעת עבורנו התחלה, שכן מרגע שהגענו בשרשרת הנימוקים שלנו למשהו שאותה נקבע כאקסיומה, נהפוך את שרשרת הנימוקים שלנו, כאשר ההתחלה היא האקסיומה (או אקסיומות) ובסוף תופיע הטענה אותה רצינו להוכיח. לכל תחום יש את האקסיומטיות שלו. במשפט האקסיומה היא לשון החוק. במדע זו המבוהקות הסטטיסטית של ניסוי.

למה לי להוכיח עכשיו

דיברנו על הצורך בהוכחה במסגרת תחומים שונים, אך עוד טרם במתמטיקה. אני רוצה להדגיש את החשיבות של ההוכחה במתמטיקה באמצעות מקרה של הוראה.

לימדתי פעם ילד קטן, אך חכם. בן 10. גם כשאני מלמד ילדים קטנים אינני מוריד את רמת המתמטיקה. לטעמי, אחת הבעיות הגדולות בהוראת מתמטיקה היא הניסיון "להקל". זה גורם לרוב הבעיות. מי שמתייחסים אליו כאל מטומטם הופך למטומטם. העניין הוא איך להנגיש את הנושאים, אבל לא להוריד "ברמה".

בכל אופן, לימדתי את הקטן מהו מספר ראשוני. נזכיר את ההגדרה:

מספר הוא ראשוני אם-ורק-אם הוא מספר טבעי, שאיננו אפס או אחד, וכן שהמספרים הטבעיים היחידים שמחלקים אותו ללא שארית זה הוא עצמו או אחד.

בדקנו על כן מהם מספרים ראשוניים. התחלנו:

1 – לא ראשוני.

2 – ראשוני – המספרים היחידים שמחלקים אותו ללא שארית זה הוא עצמו או אחד.

3 – ראשוני – כנ"ל.

4 – לא-ראשוני – 2 מחלק אותו ללא שארית.

5 – ראשוני – מהנימוק לעיל.

6 – לא-ראשוני – 3 מחלק אותו ללא שארית (גם 2, אבל בעצם מספיק לנו אחד).

7 – ראשוני – מהנימוק לעיל.

ואז הקטן עצר אותי ואמר "אה, אסף, כל המספרים האי-זוגיים הם לא-ראשוניים!"

ראשית, שיבחתי אותו על העוז להכליל ולטעון טענה כללית. זו יכולת שכלל אין לזלזל בה והיא ראויה מאוד להערכה. באמת הוא ראה שכל המספרים האי-זוגיים עד מה שבדקנו הם ראשוניים (למעט 1) והוא הצליח לקבץ את כולם, למצוא תו מאפיין אותם, ולטעון טענה ביחס לכך. מדובר בהישג מרשים.

אחרי ששיבחתי אותו, והסברתי לו למה זה כל כך יפה מה שהוא עשה, הסברתי לו גם שמדובר בטענה שקרית. למעשה, יש מספרים אי-זוגיים שהם אינם ראשוניים. לדוגמא, 9 – 3 מחלק אותו ללא שארית. בהזדמנות זו כדי להזכיר מהי טענה  – טענה היא משפט שניתן לייחס לו ערך-אמת (כלומר, אמת או שקר). לדוגמא, "היום יום שלישי" היא טענה. גם "1=2" היא טענה. היא טענה שקרית, כמובן, אבל עדיין טענה.

הוכחה במתמטיקה

הדוגמה הזו עם הילד הקטן נראית לי כמו דוגמה מצויינת להסבר מדוע אנו מעוניינים בהוכחות במתמטיקה. כפי שראינו שבמדע או במשפט אנו מבקשים הוכחות לטענות שלנו הדבר נכון גם במתמטיקה. מדוע אנו מעוניינים בהוכחות? ע"מ שתהיה לנו וודאות בידע שלנו. נשים לב שהדרישה להוכחה, וההפיכה שלה ל"תו תקן" נעשת תמיד רק בדיעבד, לאחר שנוכחנו ששגינו. במתמטיקה אנו דורשים וודאות מוחלטת. המתמטיקה היא הקיצונית ביותר ביחס לדרישה שלה לוודאות בידיעה. במדע, מספיקה לנו ידיעה שיש לנו ביטחון די טוב בה. כאשר אדם רוצה להחליט האם לבחור בדרך א' או ב' – הוא נדרש להכריע מבלי לדעת באופן וודאי מה תהיה התוצאה, והוא נדרש או להמר או להחליט על מה סביר בעיניו שיקרה.

ראינו שבכל תחום יש את דרך ההוכחה המיוחדת לה ואת מידת הוודאות המקובלת והנדרשת. במתמטיקה יש לנו את דרך ההוכחה המקובלת בתחום. דרך הוכחה זו הינה לוגית-דדוקטיבית. דהיינו, אנו רוצים להצהיר על קבוצה מסויימת של הנחות ולראות איך ניתן באמצעיים לוגיים, כלומר, באמצעות היסקים לוגיים טהורים, לגזור את הטענה שאותה נרצה להוכיח. מסיבה זו אפשר לשמוע הרבה במעגלים מתמטיים את שם-התואר שנלווה פעמים רבות להוכחות מתמטיות – ריגורוזי. ריגורוזי בעברית משמע קפדני; ייקי. המתמטיקאים מקפידים על קוצו של יוד. לכל סימן הכי קטן יש משמעות ואנו מעוניינים שכל דבר יהיה מנומק. מדוע? כדי שבמקרה לא נטען דבר-מה שלא הוכח. ע"מ שלא יתברר שבמקרה ההוכחה שלנו אינה טובה. ושוב מדוע? מכיוון שאנו מעוניינים בוודאות בידע; כדי שלא נחשוב בטעות שהטענה כי כל מספר אי-זוגי הוא ראשוני מתקיימת. לכן, אנחנו מעוניינים ליצר דרך שבה נהיה תמיד בוודאות ביחס לידע שלנו, שתהיה לנו מתודה להבדיל בין מה שאנחנו יודעים בוודאות שמתקיים, ומה שלאו, או שאנו עדיין לא יודעים זאת.

עבודת ההשערה

אם נחזור לאמירתו של אותו תלמיד קטן – הוא עשה פעולה שאנו עושים רבות במהלך עבודה מתמטית: הוא העלה השערה, היפותיזה, שאותה נרצה להוכיח או להפריך. למה האמירה שלו היתה כל כך מרשימה? מכיוון שלעיתים נדירות תלמידים מעלים השערות בנוגע למה שהם לומדים. האופן בו מלמדים מתמטיקה הוא כזה שמוצבים בפני התלמידים תרגילים אותם יש לפתור שלהם יש לרוב אלגוריתם (מתכון) שאותו הם צריכים ליישם. במקרה של סטודנטים כבר מבקשים מהם להוכיח תיאורמות. לעיתים, וזה המקרה המאתגר יותר, מבקשים מהם להוכיח או להפריך טענה מסויימת. אבל הבקשה לנסח בעצמך טענה בנוגע ל"חומר" הנלמד – זה כמעט אף פעם לא נעשה! וגם אם זה היה מתבקש מהתלמיד או הסטודנט – זה לא בדיוק משהו שניתן להזמין אותו. הדבר הזה מגיע מהספונטניות של התלמיד, מהעירוב והעיסוק שלו בחומר. כאשר תלמיד טוען בעצמו טענה בנוגע לחומר הנלמד, אז אפשר לומר שהוא מפסיק להיות תלמיד במובן הבנאלי שלה – כזה ש"מועבר אליו חומר", כזה שנדרש לפתור שאלות, או אפילו להוכיח הוכחות. כאשר תלמיד טוען בעצמו טענה בנוגע לחומר הנלמד הוא נהיה בעצמו חוקר. הוא תלמיד-חוקר. אין לזה מתכון איך דבר כזה יקרה, אבל יש אוריינטציה שמכווינה לעירוב בחומר, למחשבה, ולא לטכניקה עצלה. וזה יכול לקרות גם בגיל 10.

נוכחנו לעבודת העלאת ההשערות ולחשיבות והנדירות של פעולה זו. למעשה, הדברים הם קשורים בדרישה להוכחה. שכן, לא נוכל בכלל לדבר על השערות אם איננו דורשים הוכחות, הא בהא תליא. מי שאינו שואל בנוגע לתקפות של מה שנטען איננו מעלה השערה – אין לו סימן שאלה. במקרה שהצגתי זה המורה שהפך את הטענה לסטטוס של השערה, ולאחר מכן להשערה שהופרכה.

המניע לבניית מערכת אקסיומטית

לאחר שהתבגרנו ונוכחנו שיש פעמים בהם אנו טועים באמירותינו – הבנו שעלינו לבסס את טענותינו. אולם איך הביסוס יתבצע? נאמר שהבאנו נימוק מסויים. כיצד נוכל לדעת שנוכל לסמוך עליו? נביא על-כן נימוק שיבסס את הנימוק הראשוני. ברור שנוכל לשאול שוב אודות טבעו של הנימוק השני. וכן הלאה וכן הלאה… עד אינסוף. ראינו כבר זאת בסיפור על הילד ואביו. על-כן, אנו חייבים לעשות לכך סוף. אנו מניחים טענות שלהן אנו לא מבקשים הוכחה. לטענות הללו אנו קוראים הנחות. אנו מניחים במקום להיאנח.

כאשר אני עוסק בתחום דעת מסויים במתמטיקה, כמו לדוגמא בגיאומטריה, זה יהיה מאוד נחמד עבורי אם לא אצטרך כל פעם שניגש להוכיח טענה מסויימת להניח מחדש רשימה של הנחות. ואולי גם במקרה כל פעם אניח רשימה אחרת של הנחות. זה יהווה בעיה. אני לא אוכל להיות בטוח בתחום הידע שלי. אני רוצה לבנות בניין של הידע שלי, לדוגמא בגיאומטריה, ולכן ארצה "אחת ולתמיד" להניח רשימה כזו של הנחות שיספיקו לי לכל עיסוקי בגיאומטריה. או אז נקרא להנחות הללו אקסיומות ולכל בניין-הידע שנבנה נקרא מערכת אקסיומטית. יותר מזה אולי גם חברי יניח רשימה אחרת, וחבר אחר יניח רשימה אחרת. אם אנחנו רוצים לשחק משחק ביחד, משחק אקסיומטי, נניח הנחות משותפות, ונפעל עם אותה מערכת אקסיומטית. לכל תחום ידע (אלגברה, גיאומטריה, תורת הקבוצות וכו') נבנה מערכת אקסיומטית משלו. כמו-כן, בוודאי שהיינו יכולים ליצור מערכות אקסיומטיות שונות לאותו תחום. לדוגמא, אין מערכת אקסיומטית אחת לאריתמטיקה. ייצרו הרבה מערכות אקסיומטיות שונות. אנחנו רואים שהמתמטיקה היא הרבה יותר פלורליסטית ממה שבדר"כ חושבים עליה.

בראשית היה אוקלידס

אוקלידס הוא זה המזוהה בתור הראשון שייצר מערכת אקסיומטית ככלל, ועבור הגיאומטריה בפרט. למעשה, אנחנו יודעים שהיו כאלה לפניו, והסברה של החוקרים היא שמה שאוקלידס עשה בעיקר היה לאגד את עבודות קודמיו ולשפרם. אולם עבודתו של אוקלידס קיבלה מעמד קנוני והיוותה מופת לאורך ההיסטוריה, ולכן אף אם היא איננה באמת ראשונה הסטטוס שלה ככזה מבהיר את החשיבות שלה.

איננו יודעים הרבה על אוקלידס. הוא חי באזור המאה ה-4 לפני הספירה. הוא היה יווני במוצאו, אך פעל בעיקר באלכסנדריה שם היתה ספרייה גדולה שמשכה אליה מלומדים. לספרו של אוקלידס קוראים היסודות ולו 13 חלקים. הספר עוסק בעיקר בגיאומטריה, אך גם בתורת המספרים ומעט באלגברה. היסודות הוא כמו התנ"ך של המתמטיקה ובמשך הדורות היה המופת לחשיבה ועשייה מדוייקת ומדוקדקת.

ביסודות רק הגיאומטריה קיבלה ביסוס אקסיומטי. האלגברה היתה צריכה לחכות מעט יותר מ-2100 שנה (עד המאה ה-19) עד שגם היא זכתה לביסוס אקסיומטי. לכן, השם גיאומטריה הפך לשם-נרדף למערכת אקסיומטית ולחשיבה לוגית-דדוקטיבית. לדוגמא, הפילוסוף ברוך שפינוזה כתב את ספרו הפילוסופי הגדול האתיקה במה שאנו בימינו נכנה באופן אקסיומטי אולם הוא העניק לספרו את תת-הכותרת "מוכחת בסדר גיאומטרי". למעשה, לקרוא למבנה שהציע אוקלידס בתור מבנה אקסיומטי הינו מעשה אנכרוניסטי במידת מה. אוקלידס לא נתן דין וחשבון בצורה מסודרת על פעולתו והצהיר על מתודה, אם כי ברור שהוא פעל לפי אחת כזו. בנוסף, הוא כלל לא השתמש במונח אקסיומה, אל אף שזו היתה קיימת ביוונית ואריסטו השתמש בה.

אקסיומה - אוקלידס - היסודות
אחד מהשרידים העתיקים ביותר של "היסודות" מהמאה הראשונה לספירה. בכתב פפירוס זה מופיעה התיאורמה החמישית מהספר השני.

מערכת אקסיומטית

זה יהיה מועיל עבורנו להסביר מהי מערכת אקסיומטית באמצעות אנלוגיה. נדמיין מערכת אקסיומטית לבניין. בבסיס של הבניין יש לנו את סוגי העצמים בהם אנו עוסקים ואת היחסים הבסיסיים בין העצמים. לדוגמא, בגיאומטריה סוגי העצמים הבסיסים שבהם אנו עוסקים הם קווים ונקודות. היחסים בין העצמים יכולים להיות להימצא על. לדוגמא, נוכל לומר שנקודה A נמצאת על ישר . נשים לב, שכאשר נשתמש ביחסים הללו מה שנקבל היא טענה. כדוגמה הטענה שנטענה זה עתה.

בקומה מעל יש לנו טענות אותן אנו מניחים. בניסוח הטענות הללו נשתמש אך ורק בסוגי העצמים וביחסים אותם הנחנו בקומת הקרקע. לטענות הללו אנו קוראים  אקסיומות. שתי הקומות הללו הן היסודות שלנו. אחריהן אנו רשאים להוכיח טענות נוספות שנגזרות באופן לוגי מאותן אקסיומות. לטענות הללו, שהוכחו מהאקסיומות, אנו קוראים – תיאורמות (Theorems).

זמן לשון: בעברית מכנים בדר"כ תיאורמה בשם "משפט". זהו כינוי גרוע ביותר משני טעמים. הראשון הוא שראינו שיש משפטים שהם אינם טענות; משפטים כגון "מה שלומך?". שנית, אפילו אם נניח לכך שנאמר שהתכוונו למשפט מסוג טענה, אזי זו גם טעות גסה. מדוע? מכיוון שיש טענות שלא נוכיח במערכת אקסיומות מסויימת. לדוגמא, את הטענה "היום יום שלישי" לא נוכיח במערכת האקסיומות של הגיאומטריה האוקלידית וגם לא את הטענה כי במשולש סכום הזוויות 345 מעלות. כאשר אנחנו אומרים תיאורמה אנחנו מתכוונים בדיוק לטענה שהוכחה. נוכל להיווכח שהשימוש במונח משפט כדי לציין תיאורמה הוא אנומליה של העברית. אף אחד לא ייקרא באנגלית למשפט פיתגורס כ"Pythagoras Sentence"  ואם תגידו זאת יסתכלו עליכם מאוד מוזר. בקיצור, בתוך עמינו אנו יושבים ונמשיך להשתמש לעיתים במונח משפט כדי שאחרים יבינו אותנו, אבל נזכור שזה מונח מאוד בעייתי וכוונתנו לתיאורמה.

מערכת אקסיומטית

נחזור להסבר מהי מערכת אקסיומטית. הדרך הכי טובה להבין את הדברים היא לראות דוגמא. ניתן דוגמא למערכת אקסיומטית. נקרא למערכת זו – מערכת האקסיומות בית-הספר.

מערכת האקסיומות בית הספר

קומת הבסיס:

סוגי העצמים הבסיסים בהם אנו עוסקים הם מורים ותלמידים. היחס היחיד המונח המונח הוא יחס של מלמד את. x מלמד את y.

קומה שנייה – הנה האקסיומות שנניח:

אקסיומה 1: יש לפחות מורה אחד.

אקסיומה 2: לכל מורה יש לפחות 4 תלמידים שהוא מלמד אותם.

נראה שנוכל להוכיח את התיאורמה הבאה: יש לפחות 4 תלמידים. די פשוט להוכיח זאת. מכיוון שלכל מורה יש לפחות 4 תלמידים אותם הוא מלמד (אקסיומה 2) ואנו יודעים שקיים לפחות מורה אחד, אזי אנחנו יכולים להסיק שיש לפחות 4 תלמידים. נשים לב, ללא אקסיומה 1 שמבטיחה לנו את קיומו של לפחות מורה אחד לא היינו יכולים להסיק כך.

שאלה: נניח והיינו משנים את אקסיומה 1 והיינו קובעים שיש לפחות 2 מורים – האם היינו יכולים להוכיח את התיאורמה שיש לפחות 8 תלמידים? לא ולא! אף אחד לא קבע עבורנו שכל תלמיד לומד רק אצל מורה אחד. יכול להיות שתהיה חפיפה. ואם כן היינו רוצים שזה יהיה המצב? אזי היינו צריכים להוסיף אקסיומה שלישית – כל תלמיד לומד רק אצל מורה אחד.

נקודה חשובה שראוי לשים לב אליה: לאחר שהוכחנו תיאורמה כלשהי נוכל להשתמש בתיאורמה שהוכחה במסגרת הוכחה של תיאורמה אחרת (באותה המערכת כמובן). לדוגמא, במערכת אקסיומות בית-הספר היינו יכולים להוכיח את התיאורמה "יש לפחות 3 תלמידים" ולהשתמש לצורך כך בתיאורמה שכבר הוכחה.

במערכת אקסיומות בית-הספר עסקנו במורים ותלמידים, ביחס מלמד-את והצבנו 2 אקסיומות (היינו יכולים גם להציב אקסיומות אחרות, וגם היינו יכולים להניח 400 אקסיומות). במערכת אקסיומטית לגיאומטריה סוגי העצמים הבסיסיים שלנו יהיו נקודות, קווים ומישורים וכאשר נעסוק בתורת הקבוצות סוג העצם הבסיסי שלנו יהיה קבוצה. היינו גם יכולים לייצר מערכות אקסיומות שונות לאותם סוגי עצמים, כלומר להציב בקומה השנייה אקסיומות שונות לאותם סוגי עצמים ויחסים. על-כן, נשים לב שבפרספקטיבה הזו המתמטיקה הינה תחום יצירתי. בניגוד לדימוי הנפוץ של המתמטיקה, שכן ככה היא מופצת במערכת החינוך, שהינה תחום קפוא בו הדברים מושמים לפני התלמידים ככה זה, וכאילו המתמטיקה אף פעם לא השתנתה (אין דבר רחוק יותר מהאמת), בפרספקטיבה הזו אנו רשאים ליצור לעצמנו מערכות אקסיומטיות רבות ומגוונות ולחקור אילו תיאורמות נוכל להוכיח בהן.

המהפכה של הילברט

במערכת האקסיומות בית-הספר שהצגנו למונחים מורים ותלמידים אין באמת חשיבות מיוחדת. היינו יכולים לשנות בכל אחת מהאקסיומות את המילה מורה במילה "שולחן" ובכל אחת מהאקסיומות את המילה תלמיד במילה "כיסא", ושבמקום היחס מלמד-את נכתוב מכיל-את ושום דבר לא היה באמת משתנה. היינו אז מסיקים שיש לפחות 4 כיסאות. מה שנחשף הוא שמדובר כאן אך ורק בעניינים לוגיים טהורים. לא היה באמת הבדל בתיאורמות שהסקנו כאשר סוגי העצמים הבסיסיים שלנו היו מורים ותלמידים או כאשר הם היו שולחנות וכיסאות. לכן, היינו יכולים להפשיט את סוגי העצמים הבסיסיים (או לעיתים קוראים להם גם מונחי היסוד) ובמקום לתת להם שם שתפוס באיזשהו מובן לקרוא להם "מונח יסוד 1" ו"מונח יסוד 2" או לחילופין לקרוא לסוג העצם הראשון A ולסוג העצם השני B. כך המתמטיקה התנתקה מהמובן.

זה קרה רק בתחילת המאה ה-20 שהמתמטיקה השילה מעצמה עניינים שקשורים במובן, בכל הקשור למימד הויזואלי, למעשה בכל מה שלא קשור בה, וגילתה שמה שהיא עוסקת בו הוא אך ורק היסקים לוגים טהוריים. מי שאחראי לכך במידה רבה הוא המתמטיקאי דיוויד הילברט (Hilbert). הילברט ידוע באמירתו "כל אחד אחד חייב להיות מסוגל לומר בכל זמן – במקום נקודות, ישרים ומישורים – שולחנות, כיסאות וספלי בירה". אנחנו ראינו זאת בפועל לפני רגע (למעט עניין ספלי הבירה).

אקסיומה
המתמטיקאי דיוויד הילברט

המהלך הגאוני הזה של הילברט הגיע תוך כדי התכתבות ענפה שלו עם המתמטיקאי, הלוגיקאי והפילוסוף גוטולב פרגה  (Frege). אנו חבים לפרגה רבות בתפתחות של הלוגיקה המודרנית. ועל אף שגם תרומתו של הילברט אינה פחותה כלל וכלל  – שניהם היו במחלוקת סביב הסוגייה של מונחי היסוד והאם יש להגדיר אותם.

העמדה של הילברט היתה כזו:

לשם מה צריך לתת למונחי היסוד הגדרות? – הוא שאל. אם אנחנו משתמשים בהגדרות הללו במסגרת ההוכחות שלנו אזי מדובר למעשה באקסיומות. מנגד, אם איננו משתמשים בהגדרות הללו בהוכחות – לשם מה אנו צריכים אותם? פרגה התנגד לחלוטין לעמדתו של הילברט. למעשה, איננו חושב שהוא הבין את עמדתו (ולהיפך); מדובר היה בשיח של חרשים (אין זה כך ברוב המקרים?). פרגה ענה להילברט – אני מסכים שההגדרה של מהי נקודה היא לא הגדרה טובה דיה, אבל זה לא אומר שצריך להפסיק ולנסות להגיע להגדרה כזו (שוב, נכון אמרתי שמדובר בשיח של חרשים?). לפי הילברט המשמעות של מונח באה לידי ביטוי באופן השימוש בו. ואופן השימוש בו נקבע על-ידי האקסיומות.

המהלך של הילברט הוציא את כל המובן שהעמיס על העיסוק המתמטי. אך הוא לא עצר בכך. הילברט שיחרר את המתמטיקאים (חלקית) מהתלות במושג האמת. כאשר אוקלידס הניח את האקסיומות שלו הוא לא הניח אותם סתם. הוא האמין שהאקסיומות הללו הן אמיתיות. מסיבה זו גם היה לו חשוב לתת מובן למונחי היסוד שלו – הוא הניח שיש דברים כאלה שאותן מילים מצביעות עליהן. היו מתמטיקאים שבעקבות אפלטון דיברו על עולם האידיאות. המשולש שהגיאומטריקן מכוון אליו הוא איננו המשולש המשורטט על החול, על הלוח או בימינו על גבי צג המחשב, אלא משולש אידיאלי. יש אחד כזה שהוא מושלם מכל בחינה. הילברט זעזע את תפיסת העולם הזו. לא מעניין אותנו אם האקסיומות הן אמיתיות או לאו (זה לא נכון לגמרי, אבל זה נכון לנקודה הנדונה), אלא מה שמעניין אותנו הוא מה ניתן לגזור מהן באופן לוגי במידה ואנו מניחים אותן. הדבר הזה גרם למתמטיקה להיות שדה פורה, ולמתמטיקאים ליוצרים. כל אחד יכול להחליט על סט של מונחי יסוד ואקסיומות משלו ולהתחיל לראות מה נובע מהן. המתמטיקה השתחררה אז סופית מכל תלות בהוראה (הצבעה) למשהו חיצוני לה, יהא זה עולם ממשי או עולם אידיאלי.

האקסיומה של פאש
ללא האקסיומה של פאש היינו נשארים עם סימן השאלה בנוגע לחיתוך הישר העם הצלע השנייה.

ההתעקשות של הילברט על הלוגיקה בעשייה המתמטית יכולה להזכיר את האזהרה המוצבת תדיר על-ידי מורים למתמטיקה בחטיבה כאשר הם מלמדים גיאומטריה – לא להסתמך על השרטוט! ועל אף שאוקלידס הוכיח תיאורמות באופן ריגורוזי ביותר, ועל אף שהוא הוכיח דברים שלא חולמים להראות הוכחה להם במערכת החינוך, אלא פשוט מניחים ללא הוכחה (אבל גם בלי להגדיר כאקסיומה), גם הוא נפל בפח השרטוטים. נראה דוגמה הכי פשוטה לכך – הבה נשרטט לנו משולש. כעת, נשרטט ישר החותך את אחת מצלעות המשולש כך שיש נקודה על הישר שנמצאת בתוך המשולש. במילים אחרות, שהישר "נכנס" לתוך המשולש. כל אחד יאמר באופן אינטואטיבי – הישר יחתוך גם את אחת הצלעות האחרות של המשולש! אך אם נאמר כך נסתמך על האינטואיציה שלנו (במובן הכי מילולי של המילה intuition – במקור הלטיני משמע לראות). אבל בהוכחות אנחנו לא מסתמכים כלל על אינטואיציה, אלא אך ורק על האקסיומות, על תיאורמות שהוכחנו או על היסקים לוגים תקפים. מי שהציג לראשונה את הבעייתיות אודות הישר והמשולש שהצגתי לעיל הוא המתמטיקאי היהודי-גרמני מוריץ פאש (Pasch), ועל-כן האקסיומה נקראת כעת על שמו. הילברט כלל אקסיומה זו במערכת האקסיומות שהוא בנה לגיאומטריה. אלה מסוג הטעויות שאוקלידס שגה בהם. הוא לא הוכיח את הטענה אודות חיתוך הישר והמשולש וגם לא הציב אותה כאקסיומה. על-כן, אם נרצה לבנות את הגיאומטריה האוקלידית לא נוכל להסתפק רק בחמשת האקסיומות שאוקלידס הציב. בספרו המונומנטי  יסודות הגיאומטריה הציג הילברט גירסה אקסיומטית מתוקנת למערכת האקסיומות של אוקלידס. היא כללה לא 5 אקסיומות כי אם 21 אקסיומות! אקסיומות אלה נדרשות על-מנת לכפר על הקפיצות הלוגיות של אוקלידס.

כמה טעויות נפוצות

כשמנסים להסביר מהי אקסיומה הרבה פעמים נוטים לפשטנות יתר ואומרים דברים נדושים שאינם נכונים כמו אלו: אקסיומה היא טענה אמיתית כל כך בסיסית, שאין מה להוכיח בה.

ניתן להבין למה דברים אלה נאמרים, הם מתיישבים עם הגישה בנוגע למערכת אקסיומטית לפני פעולתו של הילברט. נשים לב שבאופן שבו הצגנו מהי מערכת אקסיומטית כלל לא נדרשנו לשאלה האם הטענות המוצבות כאקסיומות הן אמיתיות או שקריות. הן פשוט הונחו. הן היו יכולות להיות "אמיתיות" או "שקריות". הן היו יכולות להיות מורכבות, לאו דווקא פשוטות. לא דרשנו שום דרישות מהן (האין זה נחמד?). לאחר הנחת האקסיומות, ניתן להסיק מהן כל מיני דברים באמצעות כללים לוגיים דדוקטיביים. אלה הן כללי כתיבה – מה ניתן לכתוב בעקבות מה שנכתב לפני כן. אין אנו עוסקים בשאלת האמת כאשר אנו מוכיחים תיאורמות במערכת אקסיומטית. הפעולה המהפכנית של הילברט הייתה לא רק בהוצאת העיסוק במובן ממונחי היסוד המתמטיים, אלא גם בהפרדה החדשה שנוצרה בלוגיקה בין הצד בלוגיקה שעוסק בהוכחות (מערכת הוכחה) לבין זה שעוסק באמת ובשקר (סמנטיקה או תורת המודלים).

סוגים של מערכות אקסיומטיות

לאחר שהבנו מהי מערכת אקסיומטית נפנה לראות סוגים שונים של מערכות אקסיומטיות.

מערכת אקסיומות עקבית

אנחנו יכולים ליצור מערכות אקסיומות רבות ומגוונות. אך למעשה היינו מעוניינים בסוג מסויים של מערכות. אלה נקראות מערכות עקביות (בלעז קונסיסטנטיות). מערכת אקסיומות קונסיסטנטית היא כזו שלא ניתן להוכיח ממנה טענה ושלילתה. הסיבה שאיננו מעוניינים במערכות אקסיומות לא קונסיסטנטיות היא שאם הצלחנו להוכיח טענה ושלילתה אזי נוכל להוכיח כל טענה. מצב כזה הוא לא מאוד מעניין.

מערכת אקסיומות תלויה ובלתי-תלויה

מערכת אקסיומות תלויה היא כזו שבו קיימת אקסיומה שניתנת להוכחה מיתר האקסיומות. באופן שקול, מערכת אקסיומות בלתי-תלויה היא כזו ש-לא קיימת אקסיומה שניתנת להוכחה מיתר האקסיומות. ניתן לעבוד עם מערכות אקסיומטיות תלויות, אבל לרוב אנחנו מעדיפים מערכות אקסיומטיות בלתי-תלויות. מדוע? מכיוון שאנחנו חסכוניים באקסיומות ואם יש מערכת אקסיומות שבה את אחת האקסיומות ניתן "להפוך" אך לתיאורמה אזי היינו מעוניינים בכך.

האקסיומה החמישית שאוקלידס הציב קיבלה את הכינוי לאורך הדורות בשם אקסיומת המקבילים.  מאז שהתפרסמו היסודות היתה התקפה עקבית על אקסיומה זו. בכל תקופה קם המתמטיקאי התורן והצהיר כי הצליח להוכיח את אקסיומת המקבילים מ-4 האקסיומות הראשונות (רק כדי להיסתר לא מעט לאחר מכן בכך שהיתה טעות בהוכחה). כלומר, אם נשתמש במונח שהגדרנו – כל אותם מתמטיקאים שחשבו שהוכיחו כי אקסיומת המקבילים מוכחת מהיתר חשבו שהראו כי מערכת האקסיומות של אוקלידס היא תלויה. שוב זה היה רק במאה ה-19 עם המצאתן של הגיאומטריות הלא-אוקלידיות שהוכח כי מערכת האקסיומות האוקלידית הינה למעשה בלתי-תלויה. על-מנת להיכנס לנבכי הוכחה זו נצטרך קודם להסביר מתי מערכת אקסיומות הינה בלתי-תלויה, אך זה מצריך עיון עמוק יותר בלוגיקה ובפרט בתורת המודלים, ואין זה המקום כעת.

למה כדאי ללמוד באופן אקסיומטי

לשאול למה כדאי ללמוד מתמטיקה באופן אקסיומטי משול לשאלה למה לשחק כדורסל עם כדור. זוהי המתמטיקה האמיתית. כאשר לומדים מתמטיקה לא באופן הזה לומדים חיקוי חיוור של המתמטיקה. לטעמי, וגם הניסיון שלי עם התלמידים והסטודנטים שלי הוא שללמוד מתמטיקה באופן אחר הוא מבלבל, הרבה יותר קשה והרבה פחות מעניין.

תלמידים שלא לומדים מתמטיקה באופן אקסיומטי נמצאים לרוב בחוסר אוריינטציה בעולם המתמטי. המורים מציבים אז כל מיני טענות – לחלקן קוראים "חוקים", לחלקן קוראים משפטים (לרוב, כלל לא ילמדו מהי טענה). חלק מהחוקים יוכחו, וחלק לא. מדוע? יוק. תציב בנוסחה ותפתור – אין הסבר. המתמטיקה באופן שבו היא נלמדת בדר"כ היא בלאגן אחד שלם. זה לכן לא מפתיע שרוב האנשים סולדים ממתמטיקה. הם פשוט לא פגשו באמת במתמטיקה. זה גם לא מאוד מפתיע שסטודנטים כה רבים למדעי המחשב והנדסה נכשלים בקורסים מתמטיים בשנה הראשונה ללימודים. הלימודים במערכת החינוך לא הכינה אותם למפגש שלהם עם המתמטיקה כפי שזו מתרחשת באקדמיה.

פרויד בהנחייתו לאנלטיקאים (מטפלים) כתב כי הוא יכול להחליף את השיקול המוסרי בשיקול הפרגמטי. על-כן, באותו האופן נוכל לזנוח את השיקול המוסרי בדבר הלימוד באופן אקסיומטי ("זו המתמטיקה האמיתית" וכו') בשיקול הפרגמטי – הרבה יותר קל, פשוט ומעניין ללמוד באופן הזה.

שיתוף ב facebook
שיתוף ב telegram
שיתוף ב whatsapp
שיתוף ב email

הרשמה לניוזלטר

אל תפספסו עוד מאמרים וחומרי לימוד הטובים ביותר.

אולי יעניין אותך גם לקרוא...
כתיבת תגובה
speech-bubble-640

השאירו פרטים

ואחזור אליכם בהקדם

רוצים להיות כוכבי מתמטיקה?

הירשמו לרשימת התפוצה לקבלת כל המאמרים והעידכונים.

קורס הכנה לשנה א' במדעי המחשב והנדסה