מדוע תלמידים מתקשים במתמטיקה?

המפגש

כל תלמיד והקושי שלו עם המתמטיקה, עם ההנאה או אי-ההנאה שלו, ההבנה ואי-ההבנה שלו. בעיקרו של דבר לכל תלמיד יש את הסיבה המיוחדת שלו, שכן כל אחד נפגש עם המתמטיקה באופן אחר. הלמידה ככלל היא מפגש. מפגש בין מורה לתלמיד, בין התלמיד לידע, בין האיווי לדעת למחסום בידע, בין עפרון לדף. מהו מפגש? הוא משהו שלא ניתן לחישוב מראש.

עבור כל תלמיד המפגש עם המתמטיקה יהיה שונה. דבר זה נכון ביחס לכל מפגש ולכל נושא שלומדים. אך ייתכן שהמפגש עם המתמטיקה, בהקשר הזה הוא חריף במיוחד. שכן, אנו מכירים את האימרה שיש "שבעים פנים לתורה". ישנם נושאים שהפירוש הוא חלק מהותי מהעיסוק בו. כך, כל אחד יכול להכניס את הפן הסובייקטיבי שלו, ביתר קלות. המפגש עם המתמטיקה יכול לעיתים לקבל ביטוי חריף יותר, שכן המתמטיקה היא התחום שמנסה בכל מאודו להפשיט כל מימד של אקראיות ומקריות ושל פירוש, ולהעמיד את הכתוב בו על יסודות שהם יהיו כללייים, ולא תלויים בסובייקטיביות כזו או אחרת. חשבו איך היינו יכולים לעשות מתמטיקה אם כל אחד היה קובע עבור עצמו כמה שווה 1+1. באותו אופן, חשבו על הבלתי-אפשריות לקיים מסחר כאשר כל אחד היה קובע לעצמו את המידות של משקל, של אורך בעצמו, או אפילו היה הוא קובע לעצמו את אמצעי החליפין; לכל אחד היה את השטר שלו. במקצועות שמכונים ה"הומאניים" ייתכן ויותר קל לתלמיד להכניס את עצמו, שכן הם במהותם פרשניים. ייתכן גם שזו הסיבה שלבנות יותר קשה עם המקצועות המתמטיים או המדוייקים, שכן יש להן קשר קרוב יותר לדיבור ולפירוש, כלומר לסינגולריות, בעוד הבנים הם אלו הנוטים לכלליות.



לוח מתמטיקה - מורה פרטי למתמטיקה

המפגש



תלמידים רבים מתנגדים דווקא לדבר זה – להכללה הזאת, שהיא מהותית למתמטיקה. הפסיכואנלטיקאי הצרפתי ז'אק לאקאן אמר פעם בהקשר הזה ש"אי-הבנה במתמטיקה היא סימפטום". למה כוונתו? כוונתו היא שאת אי-ההבנה במתמטיקה יש לקרוא אחד-אחד. אולי נוסחאות במתמטיקה יש באופן כללי, אך אי-ההבנה היא אחת-אחת. כלומר, היא נוגעת בנימי נפשו של כל אחד. זו הסיבה גם שהקטגוריות החינוכיות של "הפרעות הלמידה" השונות, לא אומרות לנו הרבה. כאשר תלמיד מאובחן במה שמכונה "הפרעת קשב וריכוז" עלינו לשאול – מהי ההפרעה המיוחדת לו? שכן הנפש עצמה, היא מפריעה. התשובה של לאקאן לאי-ההבנה במתמטיקה, אותה הוא מייחס בעיקר לבני-הנוער, היא שאי-הבנה זו נובעת מכך שישנם סובייקטים שלא מקבלים את מה שהמתמטיקה מוכרת, את האמת שהיא מוכרת.

בעיקרון, כל המתמטיקה מבוססת על כך שעל משפטים מסויימים, שאותם אנחנו מכנים טענות, ניתן לומר שהם אמיתיים או שקריים. טענה מאופיינת בכך שניתן לומר עליה אמת או שקר. אך זוהי דרך מאוד חד-מימדית להתייחס לשפה. האמת כאן מצומצמת לערך-אמת. מבחינת הלוגיקה והמתמטיקה – למשפט כגון "האם תרצה לבוא איתי…?" אין ערך-אמת. זהו משפט שאלה, לא טענה. אך האמת מסתתרת שם, במקום אחר. לאקאן אומר – אי-המבינים אינם מוכנים לקבל את החד-צדדיות הזאת של האמת של המתמטיקה, את הריקון שלה. לכן הוא אומר:

"אלה שלא מבינים במתמטיקה – הם אוהבי האמת"

המשימה הכפולה – לאבד ולמצוא

המשימה, לכן, בעבודה של כל תלמיד ומורה עם המתמטיקה, הוא לקיים את מצוות המתמטיקה אודות ההפשטה שלה, אך בה-בעת להקצות את המקום למימד הסובייקטיבי. יש כאלה שהדבר הזה בא להם יותר בקלות מאשר לאחר. שם הם מוצאים את מקומם. אלו ש"איבדו את עצמם" שם, וזהו מקום אידאלי עבור אדם לאבד את עצמו – זה יהיה המקום שם הם יוכלו למצוא את עצמם. שכן, לא ניתן למצוא, אלא במקום שמשהו אבד.

באותו זמן – מה שלא אבד, גם לא ניתן למצוא אותו. על-כן, המשימה היא להצליח לאבד את עצמך. הדרך להצליח לעשות זאת היא באמצעות האמונה בקונסיסטנטיות, או העקביות, של המתמטיקה ושל הנוסחאות שלה. כלומר, ש"הדברים שם עובדים יופי בעצמם, ללא צורך בעזרתי". בזה, אני מאמין, תוכניות הלימודים הקיימות מפשלות. הן מפשלות מכיוון שהן לא מאבדות מספיק את הסובייקט. הן לא עומדות בסטטוס של להיות שיטה, כלומר של מערכת שמתפקדת בעצמה. למתמטיקה מבנה שיטתי – בבסיס ההגדרות והאקסיומות שלה; לכל תחום מתמטי האקסיומות וההגדרות שלו. אקסיומות הן טענות שאנחנו מניחים אותם כאמיתיות – ללא הוכחה. הן מהוות את המצע והבסיס עליו כל תחום מתמטי מתבסס. אם היינו מבקשים נימוק לאקסיומות – אז היינו צריכים להעמיד תחתיהן, או לפניהן – משפטים אחרים שהיו מסבירים אותם. ואם היינו רוצה סיבה לאלה האחרונים? היינו


ז'אק לאקן

"אלו שלא מבינים במתמטיקה – הם אוהבי האמת", הפסיכואנלטיקאי ז'אק לאקאן (Jacques Lacan).


נכנסים לרגרסיה אינסופית, כמו הילד ששואל את אביו ללא הפסק "אבל אבא, למה?". בסופו של דבר, אם האב הוא אב, תגיע התשובה הניצחת – ככה. זהו המקום של האב במתמטיקה – באקסיומות: לשים גבול ע"מ למנוע את הסכנה של האינסופי. האקסיומות, על-כן, הן הבסיס או הגבול, האדמה עליה אנחנו הולכים. 

בנוסף לאקסיומות – יש לנו כללי היסק. מהם כללי היסק? האופן שבו מותר ואסור לנו ללכת על האדמה הזאת, אדמת המתמטיקה. זה לא דבר של מה בכך. מדובר ביחס של הסובייקט אל החוק. ע"מ לתפקד כנדרש במתמטיקה יש צורך בהסכמה של הסובייקט לעבוד לפי החוק. יש כאלה שבדיוק לכך הם מתנגדים. עבריינות, על-כן, יכולה להופיע בכל מיני אופנים, לא צפויים.

שיטה

התחלתי להסביר מהי שיטה – מערכת שמתפקדת בעצמה, שיש לה אקסיומות וכללי היסק. תוכניות הלימודים הרווחות אינן מלמדות את המתמטיקה כשיטה. וזה רק ע"י ההתייחסות למתמטיקה באופן שיטתי שאפשר "לאבד את עצמך" שם. "לאבד את עצמך" משמע גם – to have a good time.

אמנם כן מלמדים כללי היסק – אך פעמים רבות הכללים אינם עקביים ואינם מדוייקים דים. בפעמים אחרות – מופיעות "נוסחאות" או "משפטים" שלא ברור מאין הגיעו, האם הם ירדו מהר סיני, או בדרך אחרת. מעבר לכך – המושג של אקסיומה לא מופיע כלל בלמידה בחטיבות ובתיכונים. כל המבנה רעוע. אם בכלל יש מבנה אזי הוא כטלאי על טלאי.
במצב הנוכחי – אינני מתפלא כיצד תלמידים לא מצליחים להבין ולעשות במתמטיקה, אלא כיצד דווקא הם כן מצליחים. זו הסיבה למה נדרשתי לנסח מחדש את כל תוכנית הלימודים לחטיבה ולתיכון, ולהקים מערך של קורסים שיבנו את ה"חומר" בצורה שיטתית ולפי שלבים. זה באופן הזה שהמתמטיקה מפורקת לגורמי היסוד שלה ונבנת שלב אחר שלב, כך שהמורכב, מורכב מדברים פשוטים, שברור מהי ההרכבה שלהם; וגם, ולא פחות חשוב – כיצד ניתן לפרק אותם. באופן הזה – המורכב נהיה פשוט.

אם נסכם את המשימה של הלימודים המתמטיים נוכל לומר:

יש ללמוד מתמטיקה באופן שיטתי מספיק ע"מ לאבד את עצמך, ובה-בעת ללמוד באופן ששם, במתמטיקה, אתה מוצא את עצמך.

אסף מנור

3/2/2017, רמת גן.


speech-bubble-640

השאירו פרטים

ואחזור אליכם בהקדם

רוצים להיות כוכבי מתמטיקה?

הירשמו לרשימת התפוצה לקבלת כל המאמרים והעידכונים.

קורס הכנה לשנה א' במדעי המחשב והנדסה