נוסחאון 5 יחל במתמטיקה
דף נוסחאות 5 יחל (נוסחאון 5 יחל) במתמטיקה כפי שמחולק בבחינת הבגרות.
אלגברה
נוסחאות הכפל המקוצר
$ (a \pm b)^2=a^2 \pm 2ab+b^2 $
$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $
$(a \pm b)^3=a^3 \pm 3a^2b+3ab^2 \pm b^3 $
$ a^3-b^3 =(a \pm b)(a^2 \mp ab +b^2) $
משוואה ריבועית
$ax^2+bx+c=0$
$a \neq 0 $
השורשים:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $
סדרות
סדרה חשבונית
כלל נסיגה:
$ a_1=a $
$ a_{n+1}=a_n+d $
איבר n-י:
$a_n=a_1+(n-1)d $
סכום:
$ S_n=\frac{n\cdot (a_1+a_n)}{2} $
סדרה הנדסית
כלל נסיגה:
$ a_1=a $
$ a_{n+1}=a_n\cdot q $
איבר n-י:
$a_n=a_1\cdot q^{n-1} $
סכום:
$ S_n=\frac{a_1\cdot (q^n-1)}{q-1} $
סכום אינסופי:
$ S=\frac {a_1}{1-q} $
גדילה ודעיכה
כעבור זמן t:
$ M_t=M_0 \cdot q^t $
q – שיעור הגדילה (או הדעיכה) ליחידת זמן
לוגריתמים
$ (a,b,c >0 ; a,b \neq 1 )$
$ \log_a {a^b} = b $
$ a^{log_a b} = b $
$ log_b {c}= \frac{log_a c}{log_a b} $
$ log_a {b\cdot c} = log_a b + log_a c$
$ log_a (\frac{b}{c}) =log_a b – log_a c $
$ log_a (b^t)= t\cdot log_a b $
הסתברות
נוסחת ברנולי
$ {n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $
ההסתברות ל-ל הצלחות מתוך n נסיונות בהתפלגות בינומית כאשר ההסתברות להצלחה היא p:
$ P_n(k) = {n \choose k} p^k \cdot (1-p)^{n-k} $
הסתברות מותנת
$ P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} $
נוסחת בייס
$ P(A /B) = \frac{P(B/A)\cdot P(A)}{P(B)} $
טריגונומטריה וגיאומטריה
זהויות
$ \sin (\alpha \pm \beta) = \sin (\alpha) \cos (\beta) \pm \ cos (\alpha) \sin (\beta) $
$ \cos (\alpha \pm \beta) = \cos (\alpha) \cos (\beta) \mp \sin (\alpha) \sin (\beta) $
$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $
$\sin \alpha -\sin \beta =2\sin \frac{\alpha-\beta}{2} \cos \frac{\alpha+\beta}{2} $
$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $
$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2} $
משפט הסינוסים
$ \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R $
(R – רדיוס המעגל החוסם)
משפט הקוסינוסים
$ c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos\gamma $
($\gamma$ היא הזווית הכלואה בין a ל-b)
אורך קשת
של $\alpha$ רדיאנים:
$\ell=\alpha R$
שטח גזרה
של $\alpha$ רדיאנים:
$S=\frac{1}{2}\alpha R^2 $
שטח משולש
$ S=\frac{b}{c}\cdot b\cdot c \cdot \sin \alpha $
גופים במרחב
פירמידה וחרוט
נפח:
$ V=\frac{B\cdot h}{3} $
(B – שטח הבסיס, h – גובה הגוף)
חרוט
שטח המעטפת:
$ M=\pi R \ell $
(R – רדיוס המעגל, $\ell$ – הקו היוצר)
חשבון דיפרנציאלי ואינטרגלי
נגזרות
$ (x^t)^{‘}=tx^{t-1} $
(t ממשי)
$(\sqrt{x})’=\frac{1}{2\sqrt{x}} $
$(\tan x)’ = \frac{1}{\cos ^2 x} $
$ (\cos x)’ = – \sin x $
$ (\sin x)’= \cos x $
$ (\log_a {x})’=\frac{1}{x \cdot \ln a} $
$ (a^x)’=a^x \cdot \ln a $
נגזרת של מכפלת פונקציות:
$ [f(x) \cdot g(x)]’=f^{‘} \cdot g(x)+f(x) \cdot g^{‘}(x) $
נגזרת של מנת פונקציות:
$ [\frac{f(x)}{g(x)}]’=\frac{f^{‘} \cdot g(x)-f(x) \cdot g^{‘}(x)}{[g(x)]^2} $
נגזרת של פונקציה מורכבת:
$ [f(u(x))]’=f'(u) \cdot u'(x) $
$u'(x)$ היא נגזרת של u לפי x (נגזרת פנימית)
ו-$f'(u)$ היא נגזרת של f לפי u (נגזרת חיצונית)
אינטגרלים
$ \int x^t dx = \frac{x^{t+1}}{t+1} +C $
(t ממשי, $ t \neq -1$ )
אם F(x) היא פונקציה קדומה של הפונקציה f(x) אזי:
$ \int f(mx+b)dx=\frac{1}{m}F(mx+b)+C $
$ \int f[u(x)]\cdot u'(x)dx=F[u(x)]+C $
מספרים מרוכבים
משפט דה-מואבר:
$ [R(\cos \varphi +i \sin \varphi]^n=R^n(\cos n\varphi +i \sin n\varphi ) $
פתרונות המשוואה $z^n=R( \cos \varphi + i \sin \varphi) $ הם:
$ z_k=\sqrt[n]{R}[\cos (\frac{ \varphi}{n} + \frac {2k\pi}{n} ) + i \sin ( \frac {\varphi}{n} +\frac {2k\pi}{n}]$
כאשר: $k = 0,1,2, \cdots , n-1 $
וקטורים
אורך של וקטור
$ | \underline x| = \sqrt { \underline x \cdot \underline x}=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$
מישור דרך קצוות הווקטורים $ \underline a, \underline b, \underline c$:
$ \underline x = \underline a + t(\underline b – \underline a)+s(\underline c – \underline a) $
מכפלה סקלרית:
$ \underline x \cdot \underline y = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3=| \underline x| \cdot | \underline y | \cos \alpha $
מרחק בין נקודה $ \underline p$ למישור $ \underline v \cdot \underline x +e=0$:
$\frac{ |\underline v \cdot \underline p +e |}{ |\underline v|} $
מציאת זווית בין הישר $ \underline a +t \underline b$:
$ \sin \beta= \frac{|\underline v \cdot \underline b|}{| \underline v| \cdot |\underline b | } $
מציאת זווית בין המישורים $\underline v_1 \cdot \underline x + e_1=0, \underline v_2 \cdot \underline x +e_2=0$:
$ \cos \alpha= \frac{|\underline v_1 \cdot \underline v_2|}{| \underline v_1| \cdot |\underline v_2 | } $
גיאומטריה אנליטית
קו ישר
שיפוע, m, של ישר העובר דרך הנקודות $(x_1,y_1) , (x_2, y_2)$:
$ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $
משוואת ישר $y=mx+b$ עם שיפוע m, העובר בנקודה $(x_1,y_1)$:
$y-y_1=m(x-x_1)$
שיעורי הנקודה C המחלקת (בחלוקה פנימית את הקטע) שקצותיו הם $A(x_1,y_1), B(x_2,y_2)$ ביחס $\frac{AC}{BC}=\frac{k}{\ell}$:
$(\frac{\ell x_1 +kx_2}{k+\ell},\frac{\ell y_1+k y_2}{k+\ell}) $
שני ישרים, בעלי שיפועים $m_2,m_1$ מאונכים זה לזה אם ורק אם
$ m_1 \cdot m_2 = -1$
מרחק הנקודה $(x_0,y_0)$ מהישר $Ax+By+C=0$:
$ d=|\frac{Ax_0 + By_0 +C}{\sqrt{A^2+B^2}}| $
מעגל
משוואת המשיק למעגל $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$ בנקודה $(x_0,y_0)$ על המעגל:
$(x_0-a)\cdot (x-a)+(y_0 – b) \cdot (y-b)=R^2$
פרבולה
משוואת המשיק לפרבולה $y^2=2px$ בנקודה $(x_0,y_0)$ על הפרבולה:
$y\cdot y_0=p(x+x_0) $
מדריך של פרבולה:
$x=-\frac{p}{2}$
מוקד של פרבולה:
$F(\frac{p}{2},0) $
אליפסה
משוואת אליפסה:
$ \frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2}=1$
מרחק המוקד מהראשית:
$ c=\sqrt{a^2-b^2} $
סכום מרחקי נקודה על האליפסה מהמוקדים:
$ r_1+r_2=2a $
בחרו את נושא הלימוד
איך כדאי להשתמש בנוסחאון מתמטיקה?
מופיע כאן בתצוגה נוחה אותו נוסחאון 5 יחל שיחולק לכם במבחן הבגרות. טוב שתתרגלו עם דף נוסחאות 5 יחל, אך אל לכם להסתמך עליו יותר מדי במהלך מבחן הבגרות. אם לא תגיעו לבגרות כשהנוסחאות כבר זורמות בעורקיכם – קיומו של דף הנוסחאות לא יעזור לכם בזמן המבחן. בזמן המבחן הוא אמור לשמש יותר לרענון ולהיזכרות, אם איזושהי נוסחה פרחה ממוחיכם. אבל כדי שנוסחה תפרח ממוחיכם, היא צריכה לפני כן להיות שם. כדי לדעת באיזה נוסחה להשתמש צריך כבר שזו תוטמע בכם.
יותר מכך הנוסחאות, לרוב, לא נפלו מהר סיני, אלא למעשה הם משפטים שניתנים להוכחה. כדאי מאוד ללמוד איך להוכיח אותם במסגרת מערכת אקסיומטית. ככה משיגים את השליטה הכי טובה ב”חומר”.
אם אתם משלימים בגרות אזי נוסחאון 5 יחל במתמטיקה לא יספיק לכם – אל תשכחו להירשם לבחינת הבגרות.
ואם מתמטיקה היא סינית בשבילכם – זה אומר שלא הכרתם את מתמטיקה מדוברת, דרך חדשה ומהפכנית ללמוד מתמטיקה כשפה, ככה שאתם תדברו מתמטית שוטף.
