24 במרץ 2024
אין תגובות
אסף מנור
אם התחלתם ללמוד מתמטיקה בדידה אתם בוודאי מופתעים מהשפה המתמטית החדשה כמו גם ממה שנדרש מכם ששונה מאוד מלימודי המתמטיקה שהכרתם מהתיכון. בניגוד לתיכון בו בו מה שנדרש מהתלמיד הוא בעיקר פתרון תרגילים ומה שנלמד הם נוסחאות חסרות הקשר, בלימודי מתמטיקה באקדמיה אנו בונים את המתמטיקה לרוב בצורה מסודרת ובמקרים הטובים באופן אקסיומטי. או-אז, מראים לתלמידים הוכחות לבנייה של המשפטים השונים. יותר מכך – גם הסטודנטים אז נדרשים להוכיח בעצמם ולא רק לפתור תרגילים. זהו הבדל מהותי ורבים “חוטפים שוק שנה א’ ” מכך ובצדק. היה עדיף לו הייתם מתכוננים מראש ללימודים האקדמיים, אך למעשה זוהי בעייה מבנית ואינה שלכם, שכן אין מערכת החינוך ואין האקדמיה מכינות ללימודים האקדמים (כתבתי על כך מאמר קצר).
בכל אופן, אפתיע ואומר לכם שמתמטיקה בדידה הוא אחד הקורסים היפים, המעניינים והנחמדים יותר במתמטיקה. לצערי, לרוב ישנם כמה כשלים באופן בו מלמדים אותו שמקשים מאוד על התלמידים. מעבר לשינוי הכיוון החד מהאופן שבו עושים מתמטיקה תיכונית לזו האקדמית, רוב הנושאים במתמטיקה בדידה הם חדשים מאוד לתלמידים, הם אינם נתקלו בהם לפני כן בתיכון או במסגרות אחרות, ולכן גם ישנם המון סימנים ומושגים חדשים. אם לא לומדים מתמטיקה לפני תחילת הקורס עם אוריינטציה, בפרט של מתמטיקה כשפה, פעמים רבות מקבלים “שוק” מן השפה החדשה.
קיבצתי עבורכם כמה הנחיות שאם תלכו לפיהם לימוד הקורס ישתפר דרמטית עבורכם. אלה לא טיפים מהשרוול, אלא תוצר של שנות ניסיון רבות בלימוד הקורס של מאות תלמידים מכל מוסדות הלימוד. אלה לא טיפים או המלצות חד-פעמיות, אלא הן כמו עקרונות כיצד ללמוד את הקורס.
אי-אפשר להגזים בחשיבות של ידיעת לוגיקה להצלחה בקורס. ברוב המוסדות לומדים מעט מדי לוגיקה. במקרה הטוב לומדים שבוע או שבועיים. יש מקומות שכלל לא מלמדים זאת, אלא נותנים חוברת הכנה. למעשה, הייתם אמורים ללמוד לוגיקה כמה שבועות, שכן זהו הכלי העיקרי בו אנו משתמשים במתמטיקה אקדמית, ולכן הדבר חשוב לא רק לקורס בדידה, אלא גם לאלגברה לינארית, לחדו”א ולמעשה כמעט לכל קורס מתמטי אקדמי.
מה שחשוב בידעת הלוגיקה הוא כיצד לעבוד באופן פורמלי עם השפות הפורמליות שלנו – תחשיב הפסוקים ותחשיב היחסים (לפעמים קוראים לכך בטעות – הפרדיקטים). מה שעוד חשוב לדעת הוא כיצד לעבור בין השפה הטבעית לשפה הפורמלית ובחזרה בקלות ובפשטות. למעבר משפה טבעית לשפה פורמלית אנו קוראים הצרנה. לחזרה משפה פורמלית לשפה טבעית נוכל לקרוא פשוט תרגום, שהרי בזה דברים אמורים, גם בהצרנה.
אם בעיסוק בשפה הפורמלית עוסקים מעט מדי, אך למצער עוסקים, הדבר הכי בעייתי הוא שלא מלמדים איך להוכיח. מה כוונתי? בוודאי שהמרצים והמתרגלים מראים הוכחות רבות, אך הדבר נוחת על הסטודנט כל פעם מחדש. לא מלמדים את העקרונות והכללים השונים להוכחות. ומדובר ברשימה מאוד סופית של אפשרויות. כמובן שידיעה של אלו לא אומרת שאתם יש תדעו איך להוכיח כל משפט, שהרי בניגוד לתיכון אין כאן מדובר פשוט בהפעלה של אלגוריתם כמו איך לפתור משוואה ריבועית, יש צורך לפתח את היכולת להוכחה. אבל אם לא יודעים איך להחזיק פטיש בוודאי שלא נדע איך לבנות בית. זה בוודאי לא תנאי מספיק, אבל הכרחי. כרגע, אין לכם בכלל את הכלים שיאפשרו לכם להוכיח. וזו הסיבה למה רוב הסטודנטים מתקשים מאוד בנושא ההוכחות.
זה נושא שאפשר ללמוד בצורה מסודרת והוא לא נלמד כלל. זו הסיבה העיקרית לבעיות של הסטודנטים עם הקורס של מתמטיקה בדידה, אבל גם עם שאר הקורסים במתמטיקה. אדגיש – לראות איך המרצה או המתרגל מוכיח לא שקול לדעת איך להוכיח בעצמך. כמו שאם אראה מישהו רוקד פלמנקו ואנסה לחקותו לא אדע לרקוד פלמנקו. יש ללמוד איך להוכיח ממש כנושא, וזה לצערי לא נעשה.
בבדידה יש הרבה מושגים והגדרות חדשות. ההרגל שלכם מהלימודים בתיכון הוא לגשת בעבודה בבית מיד לתרגילים. זהו הרגל שצריך לשנות. גם המרצים פעמים רבות חוטאים בכך – נותנים הגדרה לתרגיל ומיד רצים להוכיח ביחס אליו משפטים. למעשה, אם היינו מתעכבים כמה דקות לשנן את ההגדרות ו”להרגיש” אותם – היה לנו הרבה יותר פשוט. שינון של ההגדרות נותן לנו אחיזה טובה בדברים. אם לא תשנן את ההגדרות הבסיסיות של כל נושא הדברים לא יישבו ולא תצליח את התרגילים ואת ההוכחות. יותר מזה – אין טעם בכלל להתחיל לתרגל ולנסות להוכיח משפטים, לפני ששיננת את כל ההגדרות בנושא החדש. בדר”כ מזניחים את העניין, וזה מקשה מאוד על הלימוד.
כתבתי מאמר על חשיבות השינון ובסוף גם מדריך קצר על איך כדאי לשנן.
פעמים רבות תרגילי הבית והמטלות הניתנים לסטודנטים הם קשים מדי על ההתחלה. למה הדבר משול? לאדם שלא התאמן אף פעם ייכנס לחדר הכושר וירים 100 ק”ג. האם לא היה לו פשוט יותר להיכנס כמה פעמים ולהתחיל במשקלים קלים יותר עד שהיה מגיע ליעד הנכסף? בוודאי. באותו אופן עליכם לחשוב על עבודתכם המתמטית. התחילו במשקלים קלים. מצאו תרגילים פשוטים יותר וטענות פשוטות יותר להוכחה. לתלמידים שלי ייצרתי חוברות תרגילים שעובדות בדיוק לפי הלוגיקה הזו.
אתם חושבים – מה, בנוסף לשיעורי הבית העמוסים שקיבלנו נוסיף עוד שיעורים? התשובה היא: כן! עם כמה שזה מוזר דווקא הוספה של תרגילים פשוטים בתחלה הופכת את הדברים לפשוטים יותר. לפעמים יותר – יותר קל מפחות. בלי שימוש בכלים חיצוניים; איך יותר קל לפצח אגוזים – כשיש לכם אגוז אחד או שניים?
בניגוד להגדרות של מושגים בסיסיים אותם כדאי לשנן, הדרך הכי טובה לזכור משפטים ולהפנימם היא לשחזר את ההוכחות לאותם משפטים. פעם, פעמיים, שלוש… כמה שצריך. אבל למעשה יש לכך ערך הרבה יותר גדול מרק זכירה טובה שלהם. כאשר אנחנו משחזרים הוכחות אנחנו מטמיעים דרכי הוכחה ומחשבה שיעזרו לנו בהוכחות שאנחנו נדרש להם. הטעות הרווחת של סטודנטים בלמידה היא לחזור על השיעור רק בקריאת תוכן ההרצאה, ולא בשיחזורה. מה עוד – יש מבחנים בהם הסטודנטים נדרשים לשחזר הוכחות של משפטים שנלמדו בכיתה. עדיף לעבוד בשחזורתן במהלך הסמסטר ולא רק לפני המבחן.
מתמטיקה בדידה הוא קורס נפלא ומעניין, ואם לומדים אותו כמו שצריך – אין סיבה לא להצליח בו. עקבו אחרי ההנחיות שרשמתי והלימוד יהיה הרבה יותר קל ומעניין.
אבל בוודאי שזה לא מספיק. אם אתם מתקשים בקורס דעו, שלרוב הבעיה היא לא בכם, אלא בשל האופן בו מלמדים אותו, ובשל היעדר הכנה מוקדמת. אם לא התכוננתם מראש לקראת מתמטיקה ברמה אקדמית אזי אתם צריכים עכשיו לגשר על הפער, ובמהרה.
את כל הדברים שכתבתי שחשוב ללמוד והאופן שבו הצעתי ללמוד אני מלמד בקורס הדיגיטלי שלי בנושא כתיבת הוכחות. כבר אלפי סטודנטים לאורך השנים לפי שיטת הלימוד שפיתחתי וההבדל בין מי שלמד ללא למד באופן הזה – הוא אדיר.
בהצלחה!
אהבתם? שתפו
אל תפספסו
הרשמו לניוזלטר המתמטי הכי טוב בארץ
contact at assafmanor.co.il
שינקין 92, גבעתיים
הירשמו לרשימת התפוצה לקבלת כל המאמרים והעידכונים.