מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות

שיעורים פרטיים

שיעורים קבוצתיים

מרתונים

איך מצליחים בקורס

סטודנטים רבים מתקשים בקורס מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות. פעמים רבות מדובר בקורס ראשון בתואר ומדובר בסוג של "הלם בקו"ם" מתמטי. בניגוד לשאר הקורסים, במתמטיקה בדידה סטודנטים נתקלים לראשונה בנושאים חדשים לחלוטין ואינם מכירים את הרוב המוחלט של הסימנים. ומכיוון שהם תוצרים של מערכת החינוך הישראלית, שכבר ביקרתי רבות את האופן שבו מלמדים בה מתמטיקה אין הם למדו מתמטיקה כשפה, ולכן אין הם סיגלו לעצמם אוריינטציה בעולם המתמטי. נושא חדש כמו מתמטיקה בדידה מערער את עצם קיומם בעולם המתמטי. תנאי ראשוני ובסיסי להתחיל ללמוד קורס זה (כמו גם קורסים מתמטיים נוספים) הוא ללמוד את המבנה הבסיסי של השפה המתמטית – אופן הלימוד שיצרתי שנקרא מתמטיקה מדוברת.

בקורס מלמדים לוגיקה, אך בצורה מאוד "חסכונית". לא עובדים מספיק על הקשר בין השפה הטבעית והשפה הלוגית, ובכלל לא מסבירים מדוע לומדים לוגיקה ולשם מה זה טוב. לוגיקה מהווה עבורנו כלי ראשון במעלה לעבודה מתמטית. מתוך כך, החלק הראשוני של המבוא ללוגיקה לא נקשר להמשך הקורס ובמה הוא תורם לעבודתנו עם תורת הקבוצות. 

אך הדבר הבאמת בעייתי שלא מלמדים כחלק מחלק הלוגיקה הוא איך לכתוב הוכחות. מראים הוכחות של כל מיני משפטים, אבל לא מלמדים את התלמיד כיצד להוכיח בכוחות עצמו. מתבססים על זה, כפי שהוא הדבר בדר"כ בקורסים במתמטיקה, שהתלמיד ילמד זאת על-ידי חיקוי. אך אין הדבר עובד. מדובר בתורה שיש ללמוד אותה באופן מסודר.

החסרים הללו: אי-לימוד המבנה הבסיסי של כל שפה מתמטית (מתמטיקה מדוברת) וכן הלימוד הקמצני של הלוגיקה, ובתוך כך איך לכתוב הוכחות, אלה הם הסיבות לקשיים ולכשלונות של הרוב המוחלט של הסטודנטים בקורס (ולמעשה גם בקורסים נוספים).

איך מצליחים בקורס?

יש לי תוכנית לימודים מסודרת אותה לימדתי כבר מאות רבות של תלמידים להצלחה בקורס זה ובקורסים מתמטיים נוספים.

ההמלצות שלי

מדובר בקורס אינטנסיבי מאוד, עם הרבה מאוד נושאי לימוד. היתרון הוא שהנושאים הללו סופר מעניינים, ואם הם נלמדים כמו שצריך כל מלאכת הלימוד, הגם שהיא רבה, הינה הנאה צרופה. אינני יכול להעביר במסגרת זו את כל שדרוש לשם כך אך אני יכול להמליץ על מספר נקודות:

1. לקרוא את המאמר שכתבתי על חשיבות השינון בלימודי מתמטיקה. אני לא יכול להדגיש יותר כמה חשוב לקרוא את המאמר הזה, ואינני רואה טעם בתחילת הלימודים בנושא לפני קריאתו.

2. ריכזתי דף עם הגדרות חשובות בתורת הקבוצות. את ההגדרות הללו כדאי לשנן. דף זה עדיין לא כולל את כל ההגדרות הנדרשות.

3. לתרגל קודם כל וראשית כל תרגילים פשוטים. ברוב מוסדות הלימוד תרגילי הבית הם ברמה די גבוהה. מעבר על תרגילים פשוטים בהתחלה יעזור לכם להבין ולשנן את ההגדרות ואת המשפטים הבסיסיים.

4. הבעיה הבאמת קשה עם הקורס היא שלא מלמדים לוגיקה מספיק, והדבר העיקרי שלא מלמדים בלוגיקה הוא כיצד לכתוב הוכחה. ההמלצה החמה שלי, אחרי ניסיון עם מאות תלמידים בבדידה, היא ללמוד לוגיקה, ובעיקר דדוקציה. כן, זה לא נמצא בנושאי הלימוד של הקורס. אבל זה מה שיעשה את ההבדל בין להיכשל לבין להצטיין בקורס (ולמעשה הדבר נכון לכל קורס מתמטי אקדמי). זה מה שאני מלמד את מי שבא ללמוד אצלי. מציע להצטרף לקורס שאני מעביר בנושא כתיבת הוכחות.

5. יש מאמר שכתבתי בשם איך להצליח במתמטיקה בדידה שאני מציע לקרוא. במוסדות לימוד שונים יש שמות שונים לקורסים עם תכנים די זהים. לרוב מתמטיקה בדידה זהה מבחינת הסילבוס למבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, אלא שמבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות לא כוללת את נושא הקומבינטוריקה ומבוא לתורת הגרפים. בכל אופן, ההמלצות שלי שם תקפות גם לקורס הזה.

בהצלחה!

 

נושאי הקורס בדר"כ

לוגיקה

  1. תחשיב הפסוקים – הצרנות, סמנטיקה (טבלאות אמת)
  2. תחשיב היחסים – הצרנות שקילויות לוגיות והמעבר מטענת לכל לטענת קיים והפוך.

בדר"כ תוכנית הלימודים של לוגיקה בקורס היא דלה ולא מציידת את התלמידים במספיק כלים. מה לא לומדים? את הקשר של הלוגיקה לשפה טבעית וכיצד לכתוב הוכחות באופן פורמלי. בתוך כך – לא רואים את הקשר בין הלוגיקה שלומדים בהתחלה לתורת הקבוצות שלומדים בהמשך.

תורת הקבוצות

  1. מבוא לתורת הקבוצות – הגדרות בסיסיות לסוגי טענות שונים (שייכות, שיוויון, תת-קבוצה, תת-קבוצה ממש), הגדרות בסיסיות לפעולות (חיתוך, איחוד, הפרש, הפרש סימטרי, קבוצת חזקה, מכפלה קרטזית).
  2. משפטים בסיסיים ביחס למה שהוצג בסעיף 1'.
  3. יחסים – הגדרת יחס, סוגי יחסים (רפלקסיבי, סימטרי, טרנזיטיבי, אנטי-סימטרי (חזק וחלש), אי-רפלקסיבי, א-רפלקסיבי, א-סימטרי, אי-סימטרי, א-טרנזטיבי, אי-טרנזטיבי), מחלקות שקילות.
  4. פונקציות – הגדרת הפונקציה (כסוג מסויים של יחס), סוגי פונקציות (חד-חד-ערכית, על ושקילות), פעולות על פונקציות (חיבור, הרכבת פונקציות), פונקציה הפיכה (מימין ומשמאל), פונקציה הפיכה.
  5. טענות בנוגע לפונקציות (כמו לדוגמא – מתי הרכבה של שתי פונקציות תתן פונקציה חד-חד-ערכית בהכרח וכו').
  6. עוצמות – הגדרת שיוויון עוצמה, הגדרה מתי עוצמה קטנה-שווה לאחרת, משפט קאנטור-שרדר-ברנשטיין, הוכחת האלכסון של קאנטור, חשבון עוצמות.

אני מלמד מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות סטודנטים מכל מוסדות הלימוד

– אוניברסיטת תל אביב

– אוניברסיטת בר-אילן

– האוניברסיטה הפתוחה

– האוניברסיטה העברית

– הטכניון

– המכללה האקדמית ת"א-יפו

– מכללת אפקה להנדסה

– מכללת HIT חולון

– המכללה הבינתחומית

– המכללה למנהל

ועוד ועוד

תורת הקבוצות
speech-bubble-640

השאירו פרטים

ואחזור אליכם בהקדם

רוצים להיות כוכבי מתמטיקה?

הירשמו לרשימת התפוצה לקבלת כל המאמרים והעידכונים.

קורס הכנה לשנה א' במדעי המחשב והנדסה