24 במרץ 2024
אין תגובות
אסף מנור
ההבדל בין המתמטיקה כפי שאתם מכירים אותה, כפי שלמדתם במערכת החינוך, לקראת הבגרות או במכינות למיניהן (להלן מתמטיקה קדם-אקדמית), לבין זו שתתקלו בה באקדמיה הוא אדיר. ההבדל בין השתיים כל כך גדול כך שאני רגיל לשמוע סטודנטים מתחילים בשנה א’ שאומרים לי “מה זה? זה לא מתמטיקה”. זה פשוט לא מה שהם היו רגילים אליו. מעבר לכך – האופן שבו מציגים את המתמטיקה במערכת החינוך היא צל חיוור של מהי מתמטיקה באמת, מה שאתם עתידים להכיר בלימודים האקדמיים.
על-כן, הבגרות לא מכינה למתמטיקה ברמה אקדמית. הבעיה היא שמנגד, כשמתחילים ללמוד קורסים מתמטיים באקדמיה יזרקו אתכם לתוך המים העמוקים, מבלי לגשר על הפער, מבלי ללמד אתכם לשחות. הדבר בא לידי ביטוי באחוזי הנכשלים הגבוהים בקורסים המתמטיים בשנה א’ ומתוך כך באחוזי הנשירה הגבוהים – 42% ממדעי המחשב ו-כ-30% בהנדסות למיניהן.
המטרה שלי במאמר הזה הוא לפרוס את ההבדלים העיקריים בין המתמטיקה התיכונית לזו האקדמית כך שתוכלו לדעת טוב יותר בפני מה אתם עתידים להתייצב. בפוסט הזה אני אתמקד בעיקר בהבדלים התוכניים והפרקטיים בלמידה בין מתמטיקה תיכונית לאקדמית. במאמר על הלם שנה א’ נגעתי גם לאספקטים אחרים, חשובים מאוד, כגון קצב הלימוד, היעדר משוב ויד מכוונת ועוד.
אני אוהב להמשיל את ההבדל בין האופן שבו מלמדים מתמטיקה בצורה קדם-אקדמית לבין האופן שבו מלמדים מתמטיקה באקדמיה באופן הבא:
לימודי המתמטיקה במערכת החינוך, לקראת הבגרות או במכינות למיניהן משולות לללכת בחדר עם העיניים עצומות. לאחר שנתקלתם 200 פעמים בחפצים ובקירות מקבלים איזושהי הרגשה למבנה של החדר. זו הסיבה שנדרשתם לתרגל כל כך הרבה. שוב ושוב תרגלתם את אותם הדברים בוריאציות קלות כדי להטמיע את הדברים. אבל עדיין לרוב “לא היה לכם מושג” (תרתי משמע). לא הייתם יודעים לתת הסבר לדברים, אלא רק לעשות אותם.
הרבה יותר פשוט לפקוח את העיניים ולהסתכל סביב. זה מה שאנחנו עושים באקדמיה. והאופן שבו אנחנו עושים את זה זה על-ידי עבודה עם מושגים ומתן הגדרות. במקום לתרגל משהו 200 פעמים – אפשר לתת הגדרה למושג, שמכליל את כל ה-200 מצבים הללו (ולרוב אף הרבה יותר מצבים, לרוב אינסוף). לאחר מכן, נתרגל 3-2 דוגמאות כדי להמחיש עבורנו את הדברים, אבל לא נצטרך יותר מכך.
כפי שאמרתי – זה יותר פשוט לפקוח את העניינים ולעבוד עם מושגים במקום לתרגל 200 פעמים אבל המעבר הזה בעייתי לרוב המוחלט של הסטודנטים. למה? מכיוון שאף אחד לא מסביר להם את זה כשהם מתחילים את הלימודים באקדמיה והם ממשיכים ללמוד כפי שהם היו רגילים מהתיכון. אבל אם תמשיכו ללמוד כפי שלמדתם בתיכון – זה לא יסתיים טוב. צריך לשנות את אופן המחשבה של מה זה נקרא ללמוד מתמטיקה. זה לא יהיה מה שהכרתם. כתבתי מדריך שיסביר לכם את השינוי שנדרש מכם ביחס ללמידה וחשוב מאוד לעבוד לפיו.
בהמשך להבדל הקודם – העבודה עם מושגים מאפשרת לנו ליצור אובייקטים אבסטרקטיים. ועל-כן, במתמטיקה אקדמית בניגוד למתמטיקה תיכונית הנושאים שאנחנו עוסקים בהם לרוב הם נושאים מופשטים, לא מוחשיים כמו שעסקתם בהם בתיכון כמו מספרים או צורות אלא איזשהם אובייקטים אבסטרקטיים וזה מחייב שינוי בצורת המחשבה והתרגלות לחשיבה מופשטת. זה מחייב גם לדעת להתמצא טוב בעולם המתמטי ולא רק לעשות דברים באופן טכני. זה לא משהו שמגיע בשנייה וגם לא בכמה ימים, ובעיקר באקדמיה לא מלמדים אתכם איך לעשות את המעבר הזה, אלא כבר פשוט עושים אותו.
כדי להסביר את ההבדל הרביעי אני נדרש ללמד אתכם את משמעותה של מילה שאני מניח שאתם לא יודעים את משמעותה, אך שהיא תהיה מהר מאוד מנת חלקכם מהשבוע הראשון – ריגורוזי. ריגורוזי היא מילה לועזית אשר מגיעה אלינו מהאנגלית – rigorous. מה זה rigorous? להיות קפדני, יקי, להפקיד על קוצו של יוד. זו המשמעות הרגילה של מילה זו באנגלית כמו גם בייבוא שלה לעברית. אבל בהקשר המתמטי יש לה גם משמעות נוספת שהיא לא רק דיוק, אלא גם ביסוס והוכחה של הדברים. במתמטיקה קדם-אקדמית הדברים הוצגו עבורם בצורה די חפיפניקית. פתאום נתנו לכם נוסחה כזו או אחרת. יש דברים שהראו לכם הוכחה עבורם ויש כאלה שלא וכו’ וכו’. המתמטיקה הוצגה עבורכם באופן די מבולגן. באקדמיה תתקלו סוף סוף במתמטיקה בצורתה המסודרת והאקסיומטית, שבהם הדברים נבנים שלב על גבי שלב. מחד, זה הופך את כל הסיפור להרבה יותר מסודר ופשוט (בניגוד לכאוס של המתמטיקה הקדם-אקדמית), אבל מנגד זה מחייב שוב שינוי חד בלמידה שלכם ובמחשבה על מהי מתמטיקה. בשלב ראשון זה בעיקר יראה לכם מאוד זר ושונה ממה שאתם מכירים.
ההבדל הקודם שהצגתי, בנוגע לריגורוזיות, לא נשאר רק ברמה התיאורטית של מה המרצה מלמד אתכם, אלא גם מה אתם נדרשים לעשות. כלומר, השינוי בין המתמטיקה התיכונית לאקדמית הוא גם ברמת הפרקטיקה, מה שאנחנו עושים כשאנחנו עושים מתמטיקה. הפרקטיקה של העשייה המתמטית הקדם-אקדמית היא טכנית בעיקרה. לרוב מה שעושים זה לפתור תרגילים שמאוד דומים אחד לשני ושלרוב היה לכם איזשהו אלגוריתם ידוע מראש שבו הייתם צריכים להשתמש או לחילופין נוסחאות שבהם הייתם צריכים להציב.
לעומת זאת, במתמטיקה ברמה אקדמית הפרקטיקה שלנו היא שונה מאוד. במתמטיקה ברמה אקדמית אנחנו נדרשים להוכחות. זה משהו שנגעתם בו מעט בלימודים בתיכון ולקראת הבגרות, בעיקר בתחום הגיאומטריה, אבל ממש לא ברמה שבה אנחנו נדרשים אליה באקדמיה. לעיסוק בהוכחות יש שני פנים. פן אחד הוא שהמרצים ומתרגלים יראו לכם הוכחות ואתם תידרשו להבין את ההוכחה שהוצגה. זה מה שהצגתי בהבדל הקודם. עבור רבים מהסטודנטים זו משימה מאתגרת כשלעצמה.
הפן האחר והיא המשימה הקשה יותר כביכול תהיה לכתוב הוכחות בכוחות עצמכם. האבסורד הוא שדווקא את הדבר הזה לא מלמדים! וזה נכון לכל מוסדות הלימוד ובכל הקורסים המתמטיים. אמרתי שהמשימה לכתוב הוכחות בכוחות עצמכם היא קשה יותר כביכול, בדיוק בגלל שפשוט לא מלמדים את זה. ברגע שלומדים בצורה מסודרת איך לכתוב הוכחות, כפי שלדוגמא אני עושה בקורס הכנה לשנה א’ – זה לא כבר לא כזה מסובך. זה גם מה שיאפשר לכם להבין הוכחות שהמרצים שלכם יציגו בצורה הרבה יותר פשוטה וקלה, מפני שהדברים שלובים יחד.
לאור כל ההבדלים הקודמים – כאשר אנחנו עוסקים במתמטיקה ברמה אקדמית אנחנו נדרשים לשפה מתמטית חדשה, שאתם עוד טרם מכירים. מכיוון שתלמדו הרבה נושאים חדשים יהיה צורך בהרבה מאוד סימנים חדשים לתחומי הלימוד החדשים – באלגברה (לינארית), בתורת הקבוצות, בחדו”א ועוד.
בנוסף, מכיוון שהריגורוזיות מושמת כאידיאל חמור יותר ממה שהיה בלימודי המתמטיקה הקדם-אקדמיים, אזי אנחנו נדרשים להמציא שפה חדשה שתאפשר לנו לדייק את הדברים, כמו גם תשמש לנו ככלי עזר בהוכחות במתמטיקה. השפה הזו היא השפה הלוגית. יש לנו למעשה 2 שפות לוגיות – שפת תחשיב הפסוקים ושפת תחשיב היחסים שנבנת על גביה.
את השפות הלוגיות הללו לומדים בקיצור נמרץ בשבוע הראשון ללימודים ולאחר מכן משתמשים בהן לאורך כל הסמסטר הראשון, ובכלל לאורך כל התואר. חשוב מאוד ללמוד את השפות הללו על בוריין מכיוון שהן מהוות את אמצעי הביטוי העיקרי שלנו במהלך העבודה המתמטית האקדמית. הבעיה לרוב היא שלימוד הלוגיקה בתחילת הלימודים הוא קמצני ולא מספק וזה גורם לרוב הבעיות עבור הסטודנטים החדשים.
בלימודי המתמטיקה בתיכון קצב הלימוד הוא איטי מאוד. זה מאפשר לתלמידים להתרגל אט-אט לסימנים חדשים ולדברים חדשים במסגרת הלימוד. לעומת זאת, הלימוד באקדמיה הוא מהיר פי עשרות מונים. ועל-כן, ריבוי הסימנים החדשים בשפות החדשות שנלמדות יכולות להוביל את הסטודנטים החדשים לורטיגו. המרצים אינם מתעכבים יתר על המידה בנוגע לסימונים החדשים – מציגים איזשהו סימון חדש, מבהירים מהו במשך דקה-שתיים, ואז ניגשים להראות הוכחות בשימוש בו. ולאחר מכן באותו שיעורים יציגו עוד 5 סימונים כאלה, שאחד מתייחס לאחר. מעבר לביקורת שלי על אופן הלימוד באקדמיה, כדי להצליח ללמוד שפה חדשה בקצב כל כך מהיר זה מחייב שלסטודנט יהיה אוריינטציה טובה בעולם המתמטי, שהוא יידע את התחביר של המתמטיקה. כלומר, שהוא יידע איך אותן תבניות חוזרות על עצמן בכל התחומים במתמטיקה. צריך ממש ללמוד לדבר מתמטיקה. בנוסף, עדיף היה אם בכל שיעור הסטודנט היה לומד לכל היותר סימן אחד או שניים חדשים. זה החיסרון של לימוד פרונטלי במשך מספר שעות, בניגוד לקורס מקוון שבו ניתן ללמוד משהו קטן ואז לתרגל אותו, וגם לנוח קצת ולתת לדברים לשקוע.
ההבדל השישי והאחרון הוא בצורך להבין לעומק את הנושאים ומה אנחנו עושים. במתמטיקה תיכונית או זו שהתכוננתם אליה לקראת הבגרות – העניינים היו בעיקר טכניים, ואם היתה נדרשת הבנה אז היא היתה מועטה. לעומת זאת, במתמטיקה אקדמית אנחנו דרשים להבין לעומק מהי מתמטיקה ונדרשים לייצר איזושהי אוריינטציה בעולם המתמטי אקדמי גם מכיוון שהנושאים הם מופשטים וגם מכיוון שאתם נדרשים להוכיח. זאת אומרת שאתם צריכים איזושהי תפיסת עולם יותר כללית יותר הוליסטית על מה זה מתמטיקה כדי שתוכלו להצליח לעשות במתמטיקה, במתמטיקה ברמה אקדמית.
ההיתקלות בכל ההבדלים שפירטתי מתרחשת בסמסטר הראשון של סטודנטים למדעי המחשב, הנדסה, מדעים מדוייקים ומתמטיקה. ההיתקלות הזו מגיעה בצורה של הלם כאשר זו ממש התנגשות חזיתית ביחס לכל מה שהסטודנטים הטריים הכירו ביחס למתמטיקה בעבר. מעבר לשינויים התוכניים הלימודים באקדמיה כוללים גם הבדלים גדולים מבחינת צורת הלימוד וקצב הלימוד האדיר, שגם הם בתורם אחראים להלם. יש משהו שלא שמים לב אליו, אך הוא מהותי – בתיכון לתלמיד יש מורה אחד למתמטיקה. בסמסטר הראשון פתאום הסטודנט (שמבחינתו הוא עדיין תלמיד) – יש פתאום 8 מורים למתמטיקה! בכל קורס יש הרי גם מרצה וגם מתרגל. ואין 2 אנשים שהם אותו הדבר. מרצים שונים מתנסחים בצורה שונה ודורשים דברים שונים. כבר רק ההבדל הזה מייצר בלבול גדול עבור הסטודנטים. זו נקודה אחת מהנקודות הרבות שגורמות להלם, מעבר להיבטים התוכניים, שפירטתי בפוסט על ההלם של שנה א’.
התוצאה של הפער הגדול בין המתמטיקה התיכונית לאקדמית, ההלם שאוחז בסטודנטים החדשים בהיתקלות בפער ואוזלת היד שלכם לגשר על הפער מתבטאת באחוזי נכשלים גדולים מאוד בקורסים המתמטיים, שיכולים להתחיל ב-20% ולהגיע גם ל-80%, בהתאם למוסד, לחוג הלימוד ולמרצה. בעקבות כך אחוזי הנושרים ממדעי המחשב עומדים על 42% בממוצע כללי ארצי, ובמקצועות ההנדסה הוא עומד על כ-30%. נתונים אלה שאובים ממחקר של מבקר המדינה, ואינם כוללים את האוניברסיטה הפתוחה. יש להאמין שאחוזי הנכשלים והנשירה שם גבוהים עוד יותר, שכן אין תנאי קבלה ללימודים, ומסיבה זו הם אינם כלולים בנתונים.
לטעמי, בהחלט כן. מעבר לשינויים מערכתיים שאני מאמין שכדאי שיקרו במערכות החינוך השונות – הן ברמת מערכת החינוך התיכונית והן במערכת החינוך האקדמית, אני מאמין שהתכוננות טובה של הסטודנטים לעתיד לקראת הלימודים יכולה לגשר בצורה טובה על הפערים בין מה שהתלמיד-לשעבר מכיר לבין מה שהסטודנט לעתיד – עתיד להכיר. במקום לבזבז את השבועות הראשונים ללימודים בהתאקלמות ולייצר פערים – אפשר להגיע מוכנים ללימודים. חשוב אבל לייצר הכנה נכונה שצופה פני עתיד, גשר למתמטיקה אקדמית. מה שסטודנטים לעתיד רבים עושים בחודשי הקיץ לפני תחילת הלימודים הוא להתרענן על חומרי הלימוד של הבגרות במתמטיקה. בוודאי שאין הדבר רע, אלא שמדובר בהתכוננות למלחמות של העבר, ולא למלחמות של העתיד. ההתכוננות צריכה להיות לקראת מתמטיקה ברמה אקדמית, ולא בחזרה על מתמטיקה תיכונית. כתבתי מדריך על איך להתכונן למתמטיקה ברמה אקדמית, בעיקר ביחס למה צריך ללמוד. בנוסף, יש לי קורס מקוון להכנה לשנה א’ למתמטיקה ברמה אקדמית (עבור סטודנטים לעתיד במדמ”ח, הנדסה, מדעים מדוייקים ומתמטיקה). מי שמעוניין להתייעץ יכול לכתוב לי בתגובות או לשלוח לי הודעה.
בהצלחה בלימודים!
אהבתם? שתפו
אל תפספסו
הרשמו לניוזלטר המתמטי הכי טוב בארץ
contact at assafmanor.co.il
שינקין 92, גבעתיים
הירשמו לרשימת התפוצה לקבלת כל המאמרים והעידכונים.