24 במרץ 2024
אין תגובות
אסף מנור
סטודנטים רבים מתלוננים על כך שהבינו את שהמרצה אמר בהרצאה, אולם שמנגד כאשר הגיעו הביתה – חשכו עיניהם ואין הם מצליחים דבר ממטלות הבית. או אז הם תמהים ומתוסכלים ביחס לכך. מדוע הדבר? ראשית, יש לשנות גישה בהקשר של החשיבות של ההבנה בהקשר של למידת מתמטיקה. אני אקצין ואומר – ההבנה לא מאוד חשובה לנו במתמטיקה. כלומר, בוודאי שיש לה מקום, אבל רק לאחר מעשה. מה שחשוב לנו במתמטיקה היא ידיעה ועשייה. לדעת זה לא אותו דבר כמו להבין, ויותר מכך, לדעת קשור קשר אינהרנטי בלדעת לעשות. כלומר, בידיעה התיאורטי והפרקטי מתחברים.
מדוע ההבנה אינה חשובה לנו במתמטיקה ומה ההבדל בין ? אסביר זאת באמצעות אנלוגיה: אני יכול להסתכל על מישהו רוקד בלט. אני אבין את כל תנועותיו – הנה הוא הזיז את רגל שמאל לכיוון ההוא, ואז הוא התכופף ולאחר מכן קפץ, פליה, רבה וכו’ וכו’. הבנתי את כל מה שהוא עשה. האם זה אומר שעכשיו אני יודע לרקוד בלט? בוודאי שלא. כנ”ל הדבר אם אסתכל על הנגר עובד בסדנתו.
ובהחלט אותו הדבר נכון ביחס לפעולה המתמטית. בהרצאה אתם מסתכלים על המרצה בפעולתו ואתם מבינים את כל מהלכיו (במקרה הטוב). האם זה אומר שעכשיו אתם יודעים לעשות כמוהו? בוודאי שלא. מתמטיקה היא פרקטיקה, ולכן צריך ללמוד איך לעשות אותה בפועל. האקדמיה המודרנית יצרה הפרדה חדה בין התיאוריה לבין הפרקטיקה. ושימו לב שזה לא במקרה שהשתמשתי במונח להסתכל ביחס לרקדן או לנגר, שכן תיאוריה מגיעה אלינו מהיוונית וזו נגזרת מהפועל תיאוס – להסתכל. בתיאוריה אנחנו מסתכלים. אמנם מדובר בפועל, אבל בפועל לא מאוד אקטיבי.
כל האופן שבו מכשירים בימינו למקצועות כלשהם ומלמדים נושאים שונים הם כאלה שבהם ישנו ניתוק גס בין התיאוריה לבין הפרקטיקה. בעבר – הדברים היו שלובים. כאשר מתמחה היה מתחיל את הכשרתו כשולייה אצל נגר הלימוד שלו היה שלוב בפרקטיקה. “תחתוך את זה” או “תשייף את זה” היו אופנים שבהם הפרקטיקה השתלבה בתיאוריה. הדבר היה נכון גם ביחס לפעולה הפילוסופית, כביכול התיאורית. אבל כאשר סוקרטס עשה פילוסופיה אין הוא היגג לעצמו וכתב, אלא דיבר עם הרוכל בשוק בנוגע למהו הצדק. הוא שאל לדעתו. ההכשרה של הפילוסוף היתה קשורה בפרקטיקה ובעיצוב הפילוסופיה שלו.
הדבר היה יכול להיות גם ביחס ללימודי המתמטיקה. דמיינו לכם מצב שבו המרצה היה מלמד איזשהו נושא במשך 5 דקות, ואז היה נותן לכם 10 דקות לחשוב על הדברים וכן גם לתרגל אותם מעט. ואז שוב היה מלמד, עכשיו 3 דקות, ואז שוב נותן לכם כמה תרגילים ולחשוב מעט על הדברים. הדברים היו נראים אחרת נכון? התיאוריה והפרקטיקה היו אז שלובות. אך בוודאי שהדבר היה מחייב הרבה יותר שיעורים מכפי שאלה ניתנים באופן שבו מלמדים כיום במוסדות האקדמיים. יעילות, כביכול, היא שם המשחק. כביכול, שכן, האם כישלון של סטודנטים רבים כל כך כפי שהוא כיום הוא פעולה יעילה אם מטרת האוניברסיטה היא להקנות ידע לסטודנטים?
ההבדל על כן בין לימודים בקבוצה או לימודים אחד על אחד אינם נוגעים, לטעמי, לכמות של הסטודנטים שהמורה/מרצה מלמד, אלא לאופן הפעולה שלו. קשה למי שמלמד באחד-על-אחד “לדבר אל הקיר” ולא לערב את הסטודנט במהלך הלימוד – מה שהוא מאוד שכיח ונפוץ בלימוד מול כיתה, ואולי אפילו הכרחי לצורך ההספק.
זה מה שמצאתי לטעמי כיתרון הגדול של קורסים מקוונים במתמטיקה. כאשר הם בנויים בצורה טובה הם מאפשר ללמוד נושא קטן ומיד אחריו לתרגל את אותו הנושא וכך להמשיך באותו האופן. בניגוד לאופן הרגיל של הלימוד במוסדות האקדמיים של להקשיב להרצאה במשך שעתיים-שלוש במהלכן הסטודנט לא עושה בעצמו עם הדברים. בנוסף, הדברים נערמים אחד על השני במהלך ההרצאה ולרוב מאבדים את המרצה במהלך הדברים וחלק גדול ממנה מבוזבז. לא במקרה, אגב, שהסטודנטים מעריכים פעמים רבות את התרגולים על פני ההרצאות.
עוד דוגמה עלתה במוחי ביחס לתלונה איתה התחלתי על כך שהסטודנט מבין את הדברים בהרצאה, אך לא יודע לעשות את הדברים לבד בעצמו בבית. אני לומד כבר שנים רבות צרפתית. התחלתי זאת עוד בתואר השני שלי עם קורסים באוניברסיטה ואני ממשיך בכך עד היום. הגם שיש לקורסי השפה מקום בוודאי באוניברסיטה – יש להם יכולת מאוד מוגבלת באמת לאפשר לסטודנט לדבר בשפה הנלמדת. מדוע? מכיוון שהמעורבות של הסטודנט במהלך השיעור מוגבלת מאוד. לאחר שנתיים של לימודים באוניברסיטה יצאתי ללימודי צרפתית בצרפת בזכות מלגה של האוניברסיטה ושגרירות צרפת בישראלי. נחתתי בניס (Nice), העיר לחופי Cote d’azure (מה שבדר”כ מכנים הריביירה הצרפתית, אך הצרפתים מכנים קוט ד’אזור, והם מאוד לא יאהבו שתקראו לאזור הריביירה). על-כן, נחתתי בניס והופתעתי – אינני יכול להוציא מילה בצרפתית. אינני מצליח לדבר עם נהג המונית. חשבתי שבמהלך השנתיים הללו הגעתי לרמה סבירה בצרפתית ולא כך היא. גם שם הלכתי לשיעורים בכיתה שבה למדתי דקדוק באופן מסודר, וגם שם התלמידים בכיתה ידעו צרפתית “טוב” כמוני. אבל בסוף המסע הזה ידעתי לדבר צרפתית. הכיצד? כי יכלתי לתרגל את השפה “בשטח”. לא, אם החברים בקורס, שכן רמת הידע שלהם בצרפתית היתה כמוני, אלא בשטח ממש. מהר מאוד מצאתי טריק – נסעתי המון במוניות. זה איפשר לי לשוחח במשך רבע שעה עם צרפתי מקומי יותר מאשר ה-10 שניות בבולנז’רי (מאפייה) שבה ביקשתי לקנות קרואסון (גם לכך כמובן היתה תרומה). בהמשך – מצאתי חברים צרפתים לשוחח איתם.
לימודי הצרפתית המחישו עבורי גם הם את ההבדל בין ידיעה לבין הבנה. לדוגמא, מישהו יכול לומר איזושהי מילה מסובכת בצרפתית ואבין אותו ואת משמעות המילה. זו גם מילה שאני מכיר ונתקלתי בה בעבר. כשהוא משתמש בה – אני מבין. אבל האם הייתי שולף את אותה מילה במהירות כמו אקדוחן במערב הפרוע? כנראה שלא. עם מילים רבות – גם לא אם הייתם נותנים לי שעה. כלומר, שוב, כפי שהדגשתי בתחילת דברי – יש הבדל בין להבין את מה שהאחר אומר/עושה/מציג, לבין לעשות את הדברים בעצמך. מסיבה זו הקצנתי בהתחלה ואמרתי שההבנה היא משהו שפחות מעניין אותנו, מכיוון שההבנה היא מלכודת; מלכודת שרבים נופלים בה. כן, יש להבנה מקום חביב אחרי שאנחנו פועלים עם הדברים – ניתן לראות הקשרים ולהבין אותם בכמה רבדים. זו הבנה שמגיעה לאחר המעשה שלכם. טעות נפוצה של סטודנטים היא להתבסס על ההבנה ביחס לאחר. נתקלתי בכך לא מעט. סטודנטים שאף כמעט שלא “תרגלו” במהלך הסמסטר, אך חושבים שהם בעניינים מכיוון שהם הבינו “כל מה שהמרצה אמר בהרצאות”.
גם אם הסטודנט כן פועל ומתרגל בעצמו, אזי ההסתמכות הזו ביחס להבנה של מה שהאחר אמר נמשכת אל התרגולים. באיזה אופן? בכך שהוא לא יודע לומר במדויק את ההגדרות של הדברים. יש לו איזה תחושה פנימית שהדברים מובנים, אבל הוא לא יודע לנסח אותם במדויק בעצמו. זו אנלוגי לאותה דוגמה שנתתי לעיל על ההבדל בין זה שהאחר יאמר מילה בצרפתית ואבין מה הוא אומר, לבין זה שאני אשלוף את אותה מילה ואומר אותה בעצמי.
יש מקרים שבהם הסטודנט כן יתחיל לנסח דברים בעצמו. גם כאן יש סכנה גדולה מכיוון שבניגוד לשאר תחומי הדעת, שסובלים את האפשרות של מילים נרדפות, של הסברים מזוויות שונות וכו’ וכו’ למתמטיקה יש אלרגיה לכל ניסיון להסברים. ברגע שמתחילים עם מילים נרדפות, מילה אחת מובילה לאחרת ומהר מאוד הקשר לדבר המקורי ניתק. במתמטיקה אנחנו עבדים לדיוק. אם לא נדייק – לא נצליח לפעול בשדה הזה. כלומר, הדיבור שאנו מדברים במתמטיקה שונה מהדיבור הרגיל שלנו. המשחקיות שיש לנו בשפה הרגילה – שלעיתים קרובות אנחנו אפילו לא שמים לב כמה אנחנו מג’נגלים בשפה, אינה לגיטימית בשפה המתמטית. אני צריכים ללמוד לדבר מתמטיקה. אחד הדברים הראשונים שצריך כדי לדבר מתמטיקה כשורה, בעיקר ביחס למתמטיקה ברמה אקדמית, הוא לשנן את ההגדרות למושגים הבסיסיים. הסיבה לכך שאז אנחנו יודעים לומר את הדברים במדויק; לא בערך, ולא כאילו. כך אנחנו מקבלים אחיזה בחומר. באופן הזה אנחנו יודעים אותם, ולא מבינים אותם. כבר כתבתי מאמר על חשיבות השינון בלימודי המתמטיקה ובאמת שאינני יכול להפריז בחשיבות של הדבר. מי שיישם זאת כבר יראה שינוי אדיר באופן שהוא פועל במתמטיקה.
ביחס לתלונה המקורית שאיתה התחלתי על הסטודנט שמבין את כל מה שהמרצה אומר בכיתה, אך לא מצליח לעשות שום דבר בעצמו לבד בבית אסכם ואומר שהדבר נפוץ מאוד, ואני מקווה שהוברר במאמר זה איך הדבר הוא נגזרת די הגיונית של אופן הלימוד כיום בדר”כ באקדמיה. הדרך להתגבר על משוכה זו היא ללמוד באופן אחר, באופן שבו התיאוריה והפרקטיקה שלובים יחדיו, שבהם הסטודנט פעיל וחלק מהלימוד לאורך כל הדרך; דרך שבה התלמיד מדבר מתמטיקה, כפי שראוי לדבר אותה. כאשר לומדים באופן הזה התוצאות לא מאחרות לבוא.
אהבתם? שתפו
אל תפספסו
הרשמו לניוזלטר המתמטי הכי טוב בארץ
contact at assafmanor.co.il
שינקין 92, גבעתיים
הירשמו לרשימת התפוצה לקבלת כל המאמרים והעידכונים.