קורס-עזר – מתמטיקה בדידה


02 על הנושא

מתמטיקה בדידה הוא קורס מבואי ללימודי המתמטיקה באקדמיה. הוא קורס תשתיתי ונותן ידע בסיסי בלוגיקה, תורת הקבוצות ופונקציות, קומבינטוריה (ולעיתים גם תורת הגרפים). לקורס יש היגיון במבנהו - מתחילים בלימודי הלוגיקה מכיוון שדבר זה נדרש כדי ללמוד את נושאי תורת הקבוצות. לרוב, לא מלמדים מספיק לוגיקה. כל ההוכחות בתורת הקבוצות הן הוכחות שאפשר לצמצם אותן להוכחות לוגיות. לאחר שלומדים לוגיקה בצורה מעמיקה יותר - הנושא נהיה הרבה יותר קל.

תורת הקבוצות הוא הנושא המעניין ביותר במתמטיקה, וזאת משום שהוא עוסק באופן רציני בנושא של האינסוף. תורת הקבוצות התפתחה בסוף המאה ה-19 עם עבודותיהם של קאנטור ודדקינד. עד קאנטור ההתייחסות לאינסוף היתה מה שאריסטו כינה אינסוף פוטנציאלי - כלומר, כמה שאנחנו חושבים עליו כעל שלילה של הסופיות, שתמיד ניתן להוסיף עוד אחד (1+). כאשר כן חשבו על האינסוף בתור דבר מוחלט, אזי אינסוף זה היה מחוץ לגדרה של המתמטיקה, ונשמר למקום של אלוהים ושל התיאולוגים. קאנטור המציא תחום ביניים - של אינסוף מוגדר, אבל כזה שגם מסתדר כמו המספרים הטבעיים (...,1,2,3). זו תשובה די שכיחה שאנחנו מקבלים מילדים כאשר אנחנו שואלים אותם - מה בא אחרי אינסוף? אלה הרבה פעמים עונים - אינסוף ועוד אחד. זה בדיוק מה שקאנטור חשב וטען - אחרי אינסוף מגיע אינסוף ועוד אחד, והאינסוף ועוד אחד יותר גדול מזה הראשון, וזאת בניגוד למה שבדר"כ חושבים על האינסוף, שפלוס אחד, מינוס אחד זה אותו אינסוף. זה כאשר חושבים על האינסוף כאינסוף פוטנציאלי. קאנטור, לכן, יצר פלורליזציה באינסוף; הוא איפשר לנו לדבר על גדלים שונים של אינסוף. ולא רק זאת, אלא שגם העברית הופיעה בהופעת בכורה בשדה המתמטיקה. קאנטור קרא לאינסוף הראשון, הקטן ביותר - 0א (אלף אפס). ההבא אחריו 1א (אלף אחד) וכו'. לכן, אם לפני קאנטור האינסוף היה מושג אמפורי, בלתי-נגיש, שלא ניתן למחשבה ולחישוב, אחרי קאנטור האינסוף קיבל צורה אחרת. לא למותר לציין - שהאינסוף הבלתי-נגיש, המוחלט, עדיין נשאר, ואם קוראים בכתביו של קאטור מגלים שהוא משווה אותו לאלוהים, מה שהוא מכנה - קבוצה לא קונסיסטנטית.

יש תלמידים שמתקשים בקורס הזה. אפשר להבין זאת - אלו נושאים שנוגעים בהם בפעם הראשונה. הקורסים האחרים במתמטיקה דומים למה שנלמד בתיכון, בעוד שקורס זה פותח צוהר לדברים חדשים לחלוטין. סיבה נוספת היא שאת נושאים הלימוד של המתמטיקה של התיכון נלמדים בלי אוריינטציה, בלי הכוונה לוגית, ובלי התייחסות למימדים של המתמטיקה כשפה, ולכן המפגש עם קורס המתמטיקה בדידה נדמה זר עוד יותר. בלימוד אצלי - אנו מגשרים על הפער הזה, ומראים את המשותף בין לימודי המתמטיקה בעבר לזה שנלמד בבדידה.

ישנו סוד להבנת הקורס - כל המשפטים, כל התרגילים וכל ההוכחות כולם עומדים על לוגיקה ועל טענה בסיסית קטנה מאוד - משהו שייך למשהו.

נמשיך - כשניפגש...


03נושאי הלימוד

  1. מבוא ללוגיקה - מהי לוגיקה ולמה לוגיקה, תחשיב הפסוקים ותחשיב היחסים (נושא חשוב מאוד, שבדר"כ לא שמים עליו מספיק דגש).
  2. קבוצות - המשפטים היסודיים של קבוצות, פעולות בין קבוצות.
  3. יחסים - פעולות בין יחסים, סוגי יחסים.
  4. פונקציות - הגדרת הפונקציה, סוגי פונקציות - חח"ע ועל.
  5. עוצמות - הכללה של מושג הגודל, עוצמות סופיות ואינסופיות, שיוויון עוצמות, עוצמת הטבעיים ועוצמת הממשיים, חשבון עוצמות.
  6. קומבינטוריקה - עקרונות ראשוניים של מנייה, עם חזרות, ללא חזרות, עם חשיבות לסדר, ללא חשיבות לסדר, עקרון ההכלה וההפרדה, עקרון שובך היונים.
 


גאורג קאנטור - ממציא תורת הקבוצות