הגדרות חשובות בתורת הקבוצות

\[\]

לפני הכל – מי שלא קרא את המאמר על חשיבות השינון בלימודי המתמטיקה, אני ממליץ לעשות זאת לפני המעבר על הגדרות אלה.

הגדרות של טענות

שיוויון קבוצות:

$$ A=B \leftrightarrow \forall x. (x\in A \leftrightarrow x \in B) $$ 

כשקבוצה היא תת-קבוצה של קבוצה אחרת:

$$ A \subseteq B \leftrightarrow \forall x.(x \in A \rightarrow x\in B) $$

כשקבוצה היא תת-קבוצה ממש של קבוצה אחרת:

$$ A \subset B \leftrightarrow (A \subseteq B \wedge \exists x. (x \in B \wedge x\notin A) ) $$

סימון – אי-שייכות:

$$ x\notin A \leftrightarrow \neg x \in A $$

קבוצה ריקה:

$$ A is empty \leftrightarrow \forall x.x \notin A $$

הגדרת פעולות:

איחוד –

 $$ A \cup B:=\{x | x \in A \vee x \in B\} $$

חיתוך – 

$$ A \cap B := \{x | x \in A \wedge x \in B \} $$

חיסור – 

$$ A – B := \{x | x \in A \wedge x \notin B \} $$

קבוצה חזקה – 

$$ P(A):= \{ x | x \subseteq A \} $$

זוג סדור –

$$ <x,y>= \{ \{ x \} , \{ x,y \} \} $$

מכפלה קרטזית –

$$ A \times B := \{ <x,y> | x \in A \wedge y \in B \} $$

הגדרות נוספות

R הוא יחס מ-A ל-B

$$ R \subseteq A \times B $$

f היא פונקציה מ-A ל-B אם”ם

1. $$ f \subseteq A \times B $$

2. $$ \forall x \in A. \exists y \in B. <x,y> \in f $$

3. $$ \forall x \in A. \forall y, z \in B ( (<x,y> \in f \wedge <x,z> \in f) \rightarrow y=z) $$

שיוויון עוצמה

$$ |A|=|B| \leftrightarrow \exists f \in A \rightarrow B. f \ is \ 1-1 \wedge \ f \ is \ onto $$