השיטה


מתמטיקה מדוברת

שיטת לימוד חדשה



עיקרי השיטה

שפה זרה

המתמטיקה היא שפה. אמנם היא לא שפת-אם; אמכם לא לימדה אתכם בגיל שנה לדבר על משוואות ממעלה שנייה (אבל היא כן לימדה אתכם לספור). המתמטיקה, לכן, בהגדרתה, היא תמיד שפה זרה לכולם - זרה ומלאכותית. לכן, אם היא זרה, אזי צריך ללמוד אותה כמו שפה זרה. ז"א, צריך ללמוד את התחביר שלה, את המבנה שלה, מהם המילים ומהם המשפטים בה, ולדעת להבדיל ביניהם, כמו גם להבדיל בין משפט תקין תחבירית, לכזה שאיננו תקין תחבירית . צריך ללמוד גם איך לקרוא ולכתוב אותה, איך לדבר אותה, לעיתים אף לשיר איתה.

אקסיומטית

אולם המתמטיקה היא איננה רק שפה זרה, ואף לא רק שפה מלאכותית, אלא גם שפה שיש לה מבנה אקסיומטי. מהי אקסיומה? אקסיומה היא אמת בסיסית אותה מקבלים כאמיתית. את כל שאר המשפטים שנוכל ליצור בשפה המתמטית הזו שלנו, ונרצה לומר שהם אמיתיים - נוכיח מהאקסיומות. לכל נושא במתמטיקה יש מספר מצומצם של אקסיומות של אותו נושא - לאלגברה, לגיאומטריה וכו', שממנו מוכיחים את כל המשפטים. לא משנה כמה מסובך המשפט, בסופו של דבר, הוא עומד על כמה דברים פשוטים מאוד.

כיום לא מלמדים כלל אקסיומות בחטיבה ובתיכון. תלמידים, לכן, לא מוצאים את הידיים ואת הרגליים. הרבה פעמים מונחתים עליהם "כללים", שהם לא באמת אקסיומות, אלא משפטים שניתן להוכיח אותם. כך, למרות שהמתמטיקה הוא התחום המסודר ביותר, הדברים נראים להם כסלט, בלי היגיון. שלא אובן לא נכון - אינני חושב שצריך "להבין" הכל במתמטיקה. ממש לא. הרבה פעמים דווקא כדאי לשים את ההבנה בצד. אבל את ההבנה אפשר לשים בצד ופשוט לפעול לפי החוקים, כאשר רואים מהו המבנה הכולל של המערכת.

בבית הספר אנחנו מבדילים יפה-יפה בין אקסיומה ובין משפט; כל דבר שהוא איננו אקסיומה יוכח, בין אם ע"י המורה או ע"י התלמיד. זה עושה סדר.

לוגית

איך אנחנו מוכיחים משפטים במתמטיקה? באמצעות הלוגיקה. מתמטיקה בעיקרה =  הגדרות + לוגיקה. ההגדרות נותנות את החומר ללוגיקה. הלוגיקה מנחה אותנו לדעת מתי אנחנו מסיקים דברים באופן נכון ותקף ומתי אנחנו מסיקים דברים באופן לא נכון. לדוגמא, נאמר לנו - "אם היום יום שלישי, אז נלך לים". וגם נאמר לנו - שהיום לא יום שלישי. מה נוכל להסיק? תלמידים רבים טועים ואומרים - ובכן, כנראה שלא נלך לים. אך משפט התנאי לא אמר מה קורה אם לא יום שלישי, אלא רק מה קורה אם היום יום שלישי (יש! הולכים לים!). זוהי טעות לוגית קלאסית, שעוד תועדה ע"י הפילוסוף והלוגיקאי היווני אריסטו. זוהי הסיבה שמאוד חשוב לנו ללמד לוגיקה - כדי שנוכל להיות בטוחים שאנחנו תמיד מבצעים היסקים נכונים. כיום לא מלמדים כלל לוגיקה בחטיבה ובתיכון ובאוניברסיטה גם כאשר מלמדים לוגיקה, לרוב לא מלמדים בצורה מסודרת מספיק שנותנת אוריינטציה. 

צעד צעד

בהוראה בבית הספר המורה לא קופץ על שלבים. בהוראה של כל נושא מציגים תחילה את האקסיומות וההגדרות של הנושא ומתרגלים שימוש והצבה בסיסית בהן. לאחר מכן מתחילים לשלב כמה אקסיומות והגדרות ביחד. רק לאחר מכן עוברים להוכיח משפטים ולתרגל תרגילים בהתבסס עליהם. מכיוון שלא מדלגים על שום שלב - הכל ברור.

פשטות והנאה

כאשר לומדים מתמטיקה באופן שתואר לעיל - העניינים נהיים פשוטים ומהנים. המתמטיקה היא פשוטה, למרות שיש שעושים מאמצים כבירים כדי לסבך אותה. אין זה אומר שהמתמטיקה לעיתים אינה מורכבת. אך מורכב ומסובך זה לא אותו דבר. המורכב מורכב מדברים פשוטים. מהדברים האלה אנחנו מתחילים תמיד, ורק לאחר מכן אנחנו מרכיבים את הדברים יחדיו, כמו לגו.