19 בינואר 2025
אין תגובות
אסף מנור
הכל מרגישים שמשהו לא הולך בלימודי המתמטיקה במערכת החינוך – התלמידים, המורים, ההורים, המנהלים – ייתכן שאפילו המתמטיקה עצמה מרגישה זאת. מנסים להתנהל פחות או יותר עם מצב העניינים הקיים, אבל מה שברור הוא שהדברים מקרטעים. הכל יודעים זאת, אך לא יודעים להצביע מהן בדיוק הבעיות וממה הן נובעות. בפוסט הזה ארצה לפרוס אותן. אך לפני העיסוק בבעיות באופן הלימוד של המתמטיקה במערכת החינוך בואו נדון בהשלכות שלהן. ההשלכות באות לידי ביטוי הן במישור האישי והן הלאומי.
במישור הלאומי התוצאות הלא-מספקות של תלמידי ישראל ביחס ללימודי המתמטיקה מתרגם למחסור בבוגרים שיכולים ללמוד לאחר מכן באקדמיה בתחומי ההנדסה, המדעים המדוייקים ומה שנכלל תחת מקצועות ההיי-טק ולאחר מכן לעסוק בתחומים אלה. ברמה הכללית זה משפיע הן על חוזקה הכלכלי והחברתי של המדינה, וכן גם יכול להתרגם מהר מאוד לחוסנה הביטחוני. היתרון של ישראל תמיד היה החדשנות הטכנולוגית שלה (מישהו אמר כיפת ברזל?). מעבר לכך, הבעיות המבניות בלימודי המתמטיקה במערכת החינוך נפתרות על-ידי אוכלוסיות חזקות באמצעות פתרונות פרטיים בעוד אחרות אינן יכולות להן ונותרות מאחור. הפערים הכלכליים-חברתיים רק גדלים.
במישור האישי – אין זה סוד שרוב התלמידים סובלים (או שמא לא סובלים) מלימודי המתמטיקה. אין מדובר רק בסבל מההתמודדות עם החומר הנלמד, שבאופן שבו מלמדים אותו, אין שום סיבה למה שהתלמידים לא יסבלו, כי אם מכך שללימודי המתמטיקה מעמד מיוחד במסגרת הלימודים במערכת החינוך, כבחינה של מעמדו שלו של התלמיד, והדבר גורר בתורו לחץ מההורים והמורים, כמו גם לעיתים בפגיעה בדימוי העצמי של התלמיד עצמו. הדבר גורם להם לעוגמת נפש רבה, שלא לצורך. אבל ההשלכות הן לא רק ביחס לחוויה של הלימודים, אלא גם מבחינת מסלול חייהם של התלמידים. ההסללה מבחינת לימודי המתמטיקה מתחילה בכיתות ז’-ח’ ואחריה קשה לזוז מהמסלול שהוסללת אליו, למעט זאת שניתן “לרדת” תמיד מבחינת הרמה; לעלות כבר הרבה יותר קשה. הדבר משפיע לא רק על הלימודים במערכת החינוך, אלא גם לתפקידים המוצעים בצבא לאחר הלימודים וכן באפשרויות הפתוחות במערכת ההשכלה הגבוהה לאחר מכן. מחקרים כבר הראו שבוגרי 5 יחידות מרוויחים בממוצע כמעט פי 3 מבוגרי 3 יחידות. הדברים הם לא דטרמיניסטיים, ומדובר בסטטיסטיקה, לא בגורל. רוצה לומר – בוודאי שלכל אחד יש אפשרות לבחור את מסלול, על אף ולמרות הקשיים שישנם.
את הפוסט הזה רציתי לכתוב במשך שנים רבות. במשך שנים אני ביקורתי כלפי תוכנית הלימודים וצורת הלימוד במערכת החינוך, אך הדברים לא נוסחו באופן מסודר, וזאת מכיוון שהייתי עסוק בבניית אלטרנטיבה לכך בדמות שיטת הלימוד שלי – מתמטיקה מדוברת. אך דווקא עם ההתפתחות של שיטת הלימוד שלי עם השנים יכלתי גם לנסח באופן מדויק מהן אותן הבעיות, וזה מה שארצה לפרוס בפוסט הזה.
אדגיש שאני מייחד את הדברים שלי בעיקר ביחס ללימודי המתמטיקה החל מכיתות ז’ וצפונה – חטיבה, תיכון, אבל אני גם כולל ב”מערכת החינוך” גם את המכינות והקורסים השונים להשלמת בגרות, למעשה כל מה שהוא קדם-אקדמי.
אחת המחלות הגדולות ביותר בלימודי המתמטיקה במערכת החינוך היא האובססיה בתרגול. הדבר נהיה מנטרה שכולם שותפים לה – תרגול, תרגול, תרגול – הם מדקלמים. “כדי להצליח במתמטיקה צריך לתרגל, והרבה” – כך הם אומרים. ובכן, בהחלט יש חשיבות בתרגול, אבל במערכת החינוך הדבר יצא משליטה. והסיבה להתאבססות על התרגול היא מכיוון שהתרגול נועד לחפות על חולשה מושגית. לא לומדים ומשתמשים במושגים במערכת החינוך, ולכן במקום זאת – מתרגלים.
אני אוהב להמשיל את לימודי המתמטיקה במערכת החינוך לאדם שנכנס לחדר שאיננו מכיר ושהוא נדרש להתהלך בו בעיניים עצומות. הוא ייתקל בחפצים ובקירות 10, 20, 200 פעמים עד שלבסוף הוא יסגל לעצמו איזושהי התמצאות במרחב וידיעה של המבנה של החדר. ככה גם התלמידים, בפוגשם נושא חדש, מתרגלים 10, 20, 200 תרגילים בנושא, כאשר לרוב מדובר בתרגילים שדי חוזרים על עצמם עם וריאציות קלות. מתרגלים, טועים, מתקנים וחוזר חלילה. כך הם מִתרגלים לנושא. אך מה קורה כאשר הם עוברים לחדר חדש? שוב עליהם להיתקע בקירות ובחפצים 10, 20, 200 פעמים כדי להצליח להבין את המבנה של החדר החדש. וזאת במקום פשוט לפקוח את העיניים.
הנמשל כאן בפקיחת העיניים הוא לימוד מושגים. במקום לתרגל 200 פעמים את אותו הדבר בוואריאציות קלות – עדיף ללמוד את המושג שמכליל את אותם 10, 20, 200 ואולי אף אינסוף מצבים. בצורת הלימוד הזו – בשיעור לומדים את המושג ואת הגדרתו ורואים כמה דוגמאות כדי להרגיש את הדברים. בבית משננים את ההגדרה ואז נדרשים רק למספר קטן של תרגילים כדי להשתפשף בפרקטיקה.
במערכת החינוך התרגול של המון מצבים נועד לכסות על היעדר מושגי. אחרי שהתלמיד מתרגל כל כך הרבה יש לו איזושהי “הרגשה” של הדברים, במקרה הטוב הוא יודע לעשות, אבל הוא לא יודע להסביר מה הוא עושה ומהו הכלל. לצערי, במקרים רבים גם המורים באותה סירה, שכן הם נתונים לאותה תוכנית לימודים, שאין הם קובעים אותה. אפשר לומר, על-כן, בהכללה ביחס למורים ולתלמידים כאחד ש”אין להם מושג”, וזאת תרתי משמע.
הנושא של צמצום שברים הוא דוגמא טובה על-מנת להמחיש את הנקודה הזו. רוב התלמידים והמורים אינם יודעים לומר מהו הכלל שלפיו מותר לצמצם. אין זאת אשמתם – זה פשוט מכיוון שהם חסרים את המושג שיאפשר להם לנסח את הדברים. אז התלמידים דופקים את הראש בקיר פעמים רבות, טועים רבות, ואחרי שתיקנו אותם פעם אחד פעם – לבסוף, במקרה הטוב, הם איכשהו מצליחים לפעול נכון, אך אין הם יודעים לנסח את הכלל שאיתו הם עובדים. זה הופך את החוויה שלהם של העולם המתמטי לכזה שהוא כאוטי ושהם לא מצליחים למצוא את עצמם ואת האובייקטים שבו. מעבר לכך – החוויה שלהם היא שללמוד שקול ללטעות הרבה פעמים, להיכנס בקיר הרבה פעמים, עד שאיכשהו מסתדרים. הדבר מוציא את כל החדווה מן הלימוד. בהחלט יש מקום ל-ללמוד מטעויות, אבל לא כמתודה העיקרית והכמעט בלבדית.
להבדיל, כאשר לומדים עם מושגים אז כש”עוברים לחדר חדש” – אפשר לראות איך אותן תבניות משתכפלות. כמובן שלא כולן, ויש גם דברים חדשים, אבל יש גם המון דברים שחוזרים על עצמם, רוב הדברים, שכן המבנה התחבירי של השפה המתמטית נשאר זהה גם בחדר החדש. כשלומדים עם מושגים התלמידים מהר מאוד מקבלים מושג, תרתי משמע, לגבי המבנה של העולם המתמטי. הם מקבלים אוריינטציה, כמו לדעת איפה צד ימין ושמאל, למעלה ולמטה, קדימה ואחורה – אבל במסגרת העולם המתמטי. אם נמשיך עם המטאפורה המרחבית – זה מאפשר להם להתהלך בעולם המתמטי, להיות עצמאיים, להחליט ללכת לכיוון הזה, או לכיוון אחר, לרוץ, לקפוץ – להיות יצרתיים, ולא רק “לפתור 10 תרגילים”. ממכונות פתירת תרגילים הם הופכים לחוקרים עצמאיים.
במסגרת הבלאגן הכללי שמנסים להטיל על התלמידים ההיעדר של מושגים משתלב היטב עם היעדרן של אקסיומות במסגרת לימודי המתמטיקה.
אם אינכם יודעים מהי אקסיומה – אין הדבר מפתיע אותי, שכן מילה זו נעדרת מלימודי המתמטיקה במערכת החינוך. כבר כתבתי פוסט ארכני בשם “מהי אקסיומה?” לכן לא אכנס לעובי הקורה ואלמד אותו כאן בצורה שיטתית, אלא רק אתמצת את שכתבתי שם. אקסיומה היא טענה אותה אנו מניחים במסגרת דיון בנושא מסויים (לדוגמא אלגברה) ואיננו נדרשים להוכיחה. האקסיומה היא הבסיס, האדמה שעליה אנו צועדים. לאחר שהנחנו את האקסיומות של התחום שבו אנו עוסקים אנו יכולים להמשיך ולהוכיח משפטים שלצורך הוכחתם נשתמש בכללי הלוגיקה ובאקסיומות, וכן נוכל גם להשתמש במשפטים שכבר הוכחו. למבנה הזה שבו בבסיס מונחות אקסיומות ומהן אנו מוכיחים משפטים קוראים בספרות מערכת אקסיומטית. נחמד להמשיל את המבנה של מערכת אקסיומטית לפירמידה שבבסיסה האקסיומות והקומות השונות הן של המשפטים שהוכחו.
למידה של המתמטיקה באופן אקסיומטי מייצר לתלמידים סדר מבחינת המבנה של העולם המתמטי. אך מעבר לבהירות ולסדר מדובר בשינוי מוחלט של ההצגה של מהי מתמטיקה ומהי הפרקטיקה המתמטית. בלימוד אקסיומטי של המתמטיקה – הלימוד של נושא הוא מעשה של בנייה, ובמקרה הטוב, כבנייה משותפת של המורה והתלמיד. דהיינו, אין זה רק שמגלים את המבנה של העולם המתמטי, כי אם שיוצרים אותו יחדיו מהיסודות הפשוטים ביותר. לכן אין זה רק שהדברים אז הרבה יותר ברורים ונחשף בפני התלמידים המבנה, אלא שהם חלק מיצירתו. אחת הבעיות הקשות עבור התלמידים הוא באפשרות למצוא את תשוקתם ביחס למתמטיקה, כלומר, למצוא את הסובייקטיביות ולהיות במקום יצירתי ביחס למתמטיקה. כאשר לומדים באופן אקסיומטי אלו מתאפשרים לתלמידים, וכן גם למורים.
כל זה באופן מנוגד לחלוטין לצורת הלימוד והאופן שבו המתמטיקה מוצגת לתלמידים. באיזה אופן היא מוצגת? כעולם כאוטי ונטול מבנה ברור. ניתנת להם נוסחה והם צריכים להשתמש בה. נוסחה אחת מוכיחים להם את אמיתותה בעוד שנוסחה אחרת פשוט מוצבת לשימושם. ואין הסבר שיניח את הדעת, כמו לדוגמא, שמדובר באקסיומה; מה גם שאת רוב הטענות שמוצגות כאילו הן אקסיומות – מבלי שהשתמשו במושג – אפשר בהחלט להוכיח. אז אי-הבהירות ביחס למה נדרש להוכחה ומה לא ומה בכלל המטרה שלנו במסגרת העבודה המתמטית – מותיר את התלמידים בעמדה מבולבלת שבה הם מנסים להיענות לדרישות של המורים שלהם מבלי שהם מקבלים הבנה ומושג לגבי העולם המתמטי. פלא אז שתלמידים רבים שונאים מתמטיקה?
עם זאת, כאשר יודעים את המבנה האקסיומטי של המתמטיקה אזי הדברים נהיים מסודרים ופשוטים מאוד – עבור כל טענה: או שהיא אקסיומה, ואז היא מונחת ללא כל צורך בהוכחה או שהיא אינה אקסיומה ואז יכול להיות שהיא ניתנת להוכחה מרשימת האקסיומות שלנו, או שלאו. אבל עוד לפני לימוד של מהי אקסיומה ומהי הוכחה – במערכת החינוך אפילו לא מלמדים מהי טענה. כן, אולי אם נאמר בפני התלמידים את המונח “טענה” אזי הם יזכרו אוטומטית במנטרה שניתנת להם “טענה-נימוק” במסגרת לימודי הגיאומטריה, אבל הם לא ידעו להסביר מהי טענה. ואין אני מלין כלפיהם – פשוט לא לימדו אותם זאת, כמו דברים רבים אחרים, יסודיים ופשוטים.
מכיוון שאין מלמדים את המתמטיקה באופן אקסיומטי – התלמידים רגילים “להשתמש” בהקשר המתמטי, בנוסחה כזו או אחרת. אך אין הם בונים, כפי שאמרנו, את הדברים יחדיו עם המורה. כלומר, אין הם נדרשים להוכיח כל צעד ושעל שהם עושים, ולבחון – האם טענה מסויימת היא אמיתית או שקרית. ההוכחה היא שולית מבחינת לימודי המתמטיקה במערכת החינוך. זו גם הסיבה להלם שאוחז בסטודנטים שנה א’ בקורסים מתמטיים במדעי המחשב, הנדסה, מדעים מדוייקים וכו’ – שכן הם מגלים פתאום שהמתמטיקה שהם למדו במערכת החינוך אינה המתמטיקה האמיתית, ואין הם קיבלו כלים להתמודד איתה. אך על כך נדבר עוד בהמשך.
המקום הכמעט בלבדי שבו התלמידים נדרשים להוכחות הם בלימודי הגיאומטריה. אך אליה וקוץ בה, או שמא נאמר קוצים בה – גם שם הדברים לוקים בחסר. אין זה מקרה שלימודי הגיאומטריה הם מבין הנושאים הקשים ביותר עבור תלמידים. הסיבה נעוצה בכך שאין מלמדים מהי הוכחה וכיצד יש לכתוב הוכחה. אין לימוד אפילו מינימלי של לוגיקה, למרות שהוא הכלי העיקרי בו אנו עושים שימוש במסגרת הוכחות. ואם נחזור לעניין האקסיומות – שוב גם במסגרת לימודי הגיאומטריה אין מלמדים באופן אקסיומטי. אין מראים בנייה של התחום מן היסודות. זה גורר את זה שהכל מושם באוויר – מדוע מוכיחים את המשפט הזה אבל לא את האחר? ושוב – התלמידים לא יודעים מהו המבנה של הדברים, מנין באנו ולאן אנו הולכים. יתר על כן – משרד החינוך פרסם רשימה רשמית של מעל מאה “משפטים” בהם ניתן להשתמש, בהם לדוגמא, משפט החפיפה צלע-זווית-צלע. ובכן, זו כבר ביקורת ישנה מאוד על אוקלידס שה”הוכחה” של משפט מספר 4 בספר הראשון של היסודות לוקה בחסר ושלמעשה, “משפט” זה היה צריך להיות מושם כאקסיומה.
אבל אם בגיאומטריה ניתן לבקר את האופן שבו מלמדים, אזי, מנגד, בלימודי האלגברה לא ניתן לעשות כך, שכן המצב פשוט מתחת לכל ביקורת. טילי טילים של תעלולים והסברים מנסים לכסות על העובדה ששום דבר לא נבנה מהיסודות והמורה משול עבור התלמידים כאותו קוסם שמוציא רגע אחד ארנב מהכובע, רגע אחר נוסחת כפל מקוצר מהשרוול ולבסוף מקנח ב”חוקים” אינספור (חוקי צמצום, חוקי חזקות וכו’ וכו’) שיוצאים מכל חור, כשלמעשה הם משפטים שניתנים להוכחה. במקום שהתלמיד יראה איך מפתחים את הדברים יפה-יפה מהיסודות, איך כל הדברים משתלבים, איך הכל מנומק – הארנבים והחוקים יוצאים במחולות. אנדרלמוסיה, פליאה וחרדה במופע משולב. במצב הזה – פלא שהתלמידים לא אוחזים בנושאים וסובלים תוך כדי?
הפועל היוצא של היעדרם של האקסיומות וההוכחות מלימודי המתמטיקה, דהיינו, מהצורך להצדיק ולנמק כל דבר (למעט האקסיומות) גורר את זה שהתלמידים מושמים בעמדה פאסיבית וצייתנית. כל שהם נדרשים הוא לפעול לפי איך שאומרים להם. הם נדרשים לסמוך ולהאמין לדברי המורה שמוסר להם את החוקים והכללים שנמסרו אליו במעמד הר סיני בסמינר להוראה. במקום שהתלמיד יודרך להשתמש בשכלתו וביכולת שלו לבקר את שמוצב בפניו – הוא נדרש אך ורק להשתמש. כלומר, כאשר ההוכחה נעדרת מהלימודים אזי גם צידה השני – ההפרכה. אין מצב בו מוצבת עבור התלמיד טענה במסגרת של סימן שאלה – האם טענה זו אמיתית או שקרית? אך כפי שאמרנו מקודם – אין הם אפילו יודעים לומר מהי טענה.
כאשר מלמדים נושא מתמטי מן היסודות ובונים אותו באופן אקסיומטי, אזי אין זה רק שהתלמיד נחשף ל”מאחורי הקלעים”, ואין זה רק שהוא נוכח איך כל הדבירם משתרגים יחדיו ובעלי מבנה פרימידיאלי ברור, בניגוד לכאוס ששורר עבורם כעת, אלא גם שהם אז שותפים לבנייה, והופכים מצופים-מתרגלים-פאסיביים לאדריכלים ופועלי הבניין של המבנה המתמטי, כמו גם לפקחי הבטיחות והבחינה – במה יש לסמוך ומה צריך להשליך ליאור. מן הסתם אין הם יכולים מיד להפוך לאדריכלים ולפועלים ביום אחד, ובהתחלה נסמכים הם יותר על המורה לצורך כך, אך ככל שעובר הזמן יכולים הם לקחת חלק יותר ויותר אקטיבי בבנייה ובחקירה.
שלח את עמי! תנו לתלמידים לפרוץ דרור.
אם אין חשיבה ביקורתית, ואם אין בנייה של הדברים באופן מסודר תוך כדי בחינה מה נכון ומה לא, ואם אין דרישה להוכחה של כל צעד ושעל, אזי בוודאי שגם אין צורך בלימודי לוגיקה. למרות שהלוגיקה תמיד היתה אחד מאבני היסוד של כל סילבוס חינוכי החל מהעת העתיקה מסתבר שאין הלוגיקה יפה מספיק עבור הבירוקרטיה של משרד החינוך. שכן, לשם מה עלינו ללמוד לנסח באופן לוגי, מסודר ובהיר את טיעונינו? עדיף להישאר במסגר “זו האמת שלי” או “זו ההרגשה שלי ואתה לא יכול לבטל אותה” הכה רווחים בימינו. ויתור על הלוגיקה היא ויתור על הקשר החברתי – הקשר החברתי בתור זה שבני-אדם פועלים במגע ומשא אחד עם רעהו, משכנעים ולא משכנעים בטיעוניהם במקום באגרופם או באיומיהם. היעדרה של הלוגיקה מלימודי המתמטיקה משליכים על כל הספרה הציבורית.
אחת הרעות החולות באופן לימוד המתמטיקה במערכת החינוך היא שהמתמטיקה מוצגת באופן א-היסטורי, קפוא, נצחי ולא משתנה, משל המתמטיקה ירדה אלינו מן השמיים במעמד הר סיני. האמת היא, כמובן, רחוקה מאוד מכך. המתמטיקה התפתחה והשתנתה באופן ניכר לאורך ההיסטוריה. הנושא שמאפשר להדגים זאת בצורה הפשוטה והקלה ביותר היא במסגרת סוגי המספרים השונים, שאלה הומצאו והתפתחו לאורך ההיסטוריה האנושית.
אין זה רק שהמספרים הדמיוניים הומצאו בזמן מסויים (אוילר, כאשר דקארט הוא זה שנתן את השם למספרים 100 שנה לפני כן, בזלזול מה), אלא גם המספרים האי-רציונליים, הרציונליים, השלמים ואף האפס. המתמטיקאי קרונקר ידוע באימרתו “אלוהים נתן לנו את המספרים הטבעים; כל השאר הם המצאות של בני-האדם”. והנה אפשר רק לזרוק אבן בכל פינה ולמצוא בעיה באופן שבו מלמדים מתמטיקה במערכת החינוך והנה נפלנו על עוד מקרה – שהרי בכלל לא מלמדים את סוגי המספרים השונים במערכת החינוך. הפעם הראשונה שנתקלים בכך בדר”כ הם בתחילת הלימודים באוניברסיטה. במערכת החינוך פשוט משתמשים במונח “מספר”. איזו איוולת. בכל אופן, אני מקווה שהדוגמא שלי אודות סוגי המספרים ברורה דיה – אין אני נכנס כאן להסבר ולימוד שיטתי ומסודר של סוגי המספרים.
מה שחשוב לעניינינו שכל אותם סוגי מספרים שהתלמידים משתמשים ולוקחים אותם כמובנים מאליהם היו הישגים כבירים בתולדות המחשבה האנושית. אולם דבר זה נעדר לחלוטין מתוכנית הלימודים.
ומדוע זה חשוב להכניס את המימד ההיסטורי ללימודי המתמטיקה? ובכן מכיוון שאז אפשר לראות את האספקט היוצר, היצירתי, שהוא מנת חלקו של הפעולה המתמטית. אני מאמין שאחת הבעיות של התלמידים “להתחבר” ללימודי המתמטיקה היא שמדובר בתחום שקשה יותר למצוא את הסובייקטיביות שלך בו. אם אינך יכול להיות ביקורתי, כפי שסקרנו מקודם, וגם לא ליצור – מה נותר לעשות? לציית ולתרגל באופן מכני? כן, גם בכך יכולה להיות הנאה, אבל מוגבלת מאוד. חלק מהמימד היצרתי, אגב, נובע לא רק מההכנסה של המימד ההיסטורי כי אם גם הלימוד האקסיומטי. שכן, ברגע שקולטים, שניתן להציב סט אחר של אקסיומות, וליצור מתמטיקות מסוגים שונים – אזי עולם שלם של פעולה ודימיון נפתח בפני התלמיד. על-כן, האקסיומטיות, ההיסטוריות והיצירתיות שלובים אלה בזרועות אלה.
אולי יבוא יום וניתן יהיה לכתוב את ההיסטוריה של הוראת המתמטיקה בארץ ישראל, דהיינו אם משהו יזוז. בלי שינוי – אין היסטוריה.
התחרות בין הדברים שמעצבנים אותי באופן שבו מלמדים מתמטיקה במערכת החינוך קשה. ועדיין העיסוק בטפל לעומת מהותם של דברים מעצבנים אותי במיוחד. יש יחס הפוך בין החשיבות של הדברים לבין מידת הזמן וההשקעה הניתנים להם במסגרת הלימודים במערכת החינוך.
אתן כדוגמא את נושא הפונקציות. מאות שעות משקיעים בנושא לאורך שנות הלימוד, כאשר מגיעים למיומנויות טכניות רבות – חקירה, גזירה וכו’ וכו’, אבל אני רק שאלה קטנה: האם התלמידים (ובאותה מידה גם המורים) יודעים לומר – מהי פונקציה? אין לי מחקר סטטיסטי מייצג אבל לאורך השנים יצא לי להפנות את השאלה הזו אלפי פעמים ומספר הפעמים שקיבלתי תשובה נכונה ניתנת להיספר על כף ידי. פשוט לא מלמדים זאת! לא ייאמן את כמות ההשקעה שמקדישים לנושא ואת הדבר הפשוט, הטריוויאלי, אך כזה שעושה סדר ושיש לו אז אפליקטיביות למגוון שלם של תחומים – לא מלמדים. זו איוולת ברמה הגבוהה ביותר.
זו היתה דוגמא אחת – יש עוד רבות וטובות. במקום לעשות במהות – נשארים עם טכניקה ללא רוח. וזה במקרה הטוב, שכן לרוב גם הטכניקה בעייתית בשל ההיעדר המושגי שכבר הזכרנו.
אך אם עוסקים בטפל של הדברים ולא במהותם, כמו בנושא הפונקציות – לפחות עוסקים! אולם יש דברים שאין עוסקים בהם כלל. רוצה לומר – אין שואלים את השאלות הגדולות ביחס למתמטיקה: מהי מתמטיקה? מהו מספר? שאלות שאפשר למקם תחת הכותרת של פילוסופיה של המתמטיקה, אבל שהם מהווים את ליבת התחום. בטוחני שעיסוק בנושאים אלה היה מרתק את הדברים וכי ראוי להוסיף סימני שאלה במסגרת לימודי המתמטיקה ולא רק סימני קריאה.
כל הבעיות שהזכרתי עד כה מתכנסים לעידודה של פאסיביות נלהבת. שהרי אם אין צורך בחשיבה ביקורתית והתלמיד איננו פועל-חוקר בתחום, אלא צריך אך לחזור על ההסברים המכניים של המורה – לאיזו תוצאה מלבד פאסיביות נצפה לקבל?
אולם פאסיביות זו איננה רק מבחינת העמדה הנפשית שבה מושמים התלמידים, אלא היא מובנת בצורת הלימוד. אבהיר את הדברים באמצעות אנלוגיה. נאמר שאינכם יודעים לשחות ואתם הולכים לשיעור ראשון בשחייה. שמחים ונרגשים אתם פוגשים את המורה לשחייה בכניסה לבריכה. המורה קופץ למים ומבקש מכם לשבת על כיסא מחוץ לבריכה כאשר הוא מדגים עבורכם איך שוחים. כאשר אתם שואלים שאלות – הוא עונה ומדגים. לאחר שעה הוא יוצא מן הבריכה, מברך אתכם ואומר לכם “יופי, עכשיו לכו הביתה, התאמנו כמו שהראתי לכם בשיעור, ועשו זאת באמבטיה!”. לזה משולים שיעורי המתמטיקה במסגרות החינוך השונות. התלמיד צופה באופן פאסיבי במשך שעה-שעתיים רצופות ולפעמים אף יותר, ואז נדרש לתרגל בבית. אילו איתרע מזלכם ונפלתם על מורה כזה לשחייה, אני מניח שהייתם עוזבים את השיעור בחמת זעם אחרי כמה דקות. זה הרי אבסורד. ככה לא מלמדים. כנ”ל אם הדבר היה קורה בשיעור נגינה, כדורסל, נגרות וכו’ וכו’ – לא הייתם סובלים זאת. לא היינו מקבלים זאת כצורת לימוד לגיטימית. איכשהו קרה שהדבר התקבע כצורת לימוד לגיטימית ביחס ללימודי המתמטיקה. על אף שנושאו של פוסט זה הוא הבעיות המתמטיקה במערכת החינוך המורחבת (חטיבה ותיכון, השלמת בגרות בקורסים הפרטיים השונים ובמכינות) בנקודה זו הדבר נכון גם בנוגע ללימודים באקדמיה ואף ביתר שאת.
צורת הלימוד הפאסיבית הזו גוררת את זאת שהתלמידים לא “אוחזים” בעצמם בדברים, אלא מצליחים, במקרה הטוב, לחקות את שהם רואים. אין המתמטיקה נתפסת אז עבורם כשדה של יצירה ופעולה, כמקום שבו הסובייקטיביות שלהם יכולה לבוא לידי ביטוי. הדבר כמובן מתחבר להיעדר ההיסטוריות בלימודי המתמטיקה, שציינתי מקודם, להתייחסות אל התחום כקפוא, נצחי, שבמקרה הטוב אפשר למסור את הידע בו לדורות הבאים על-ידי חיקוי והעתקה ולא כמקום לצמיחה וליצירה. זו תפיסה מעוותת של הידע, למרות שהיא מאוד פופולארית – כמנותקת מהפראקסיס, מהעשייה.
האופן שבו בנויה תוכנית הלימודים במתמטיקה היא כזו שגורמת לכך שהמורים פשוט מדברים סינית מבחינת התלמידים. הסיבה היא שתוכנית הלימודים זורקת ישר את התלמידים לטקסט המתמטי, ללא בנייה הדרגתית הנדרשת לצורך התמודדות עם הדברים וללא לימוד מסודר של שפת המתמטיקה. למה הדבר משול? לכך שאלך לשיעור ראשון בטורקית (ואינני מדבר טורקית) והמורה פשוט יתחיל לדבר איתי טורקית ויותר מכך – אף ישאל אותו שאלות ויצפה למענה. ברור שכך לא לומדים שפה שנייה. למה שזה יהיה שונה עם מתמטיקה? גם מתמטיקה היא שפה, ועל-כן יש ללמוד אותה כפי שלומדים שפה שנייה – את הא”ב שלה, את התחביר, אוצר-המילים, איך לכתוב ואיך לקרוא אותה, ואפילו איך לדבר אותה. ההתעלמות מכל אספקט של השפה המתמטית במסגרת הלימודים במערכת החינוך הוא אחד הגורמים המשמעותיים ביותר לבעיות שחווים תלמידים, ומעבר לכך – לחוסר-האוריינטציה והסבל ביחס למתמטיקה.
לאור כל הבעיות שכתבתי לעיל – ברור למה חלק גדול מהתלמידים סובלים מלימודי המתמטיקה, בעוד חלק אחר לא סובל מלימודי המתמטיקה, במובן של “אני לא סובל אותך”, כלומר שהם נושרים מהלימודים, בין אם הדבר ממש בהיעדרות ממשית מהלימודים בתחום, ובין אם בנשירה סמויה של אובדן התשוקה לדבר, אך עדיין עמידה בדרישות הלימודיות.
התגובה של מערכת החינוך לאי-ההבנה והסבל של התלמיד שהוא מפנה למורה ולמערכת היא החלוקה ליחידות והקבצות. במקום לתפוס את אי-ההבנה והסבל של התלמיד בתור סימפטום של צורת הלימוד ולענות עליו על-ידי שינוי צורת הלימוד ושיפורו, כלומר על-ידי התעמקות בשאלות שהמתמטיקה וההוראה מציבים עבורנו, התגובה של המערכת החינוכית הבירוקרטית היא הפוכה לחלוטין. ראשית, היא מטילה את “האשמה” על התלמיד – הוא איננו חכם מספיק, איננו חושב מהר מספיק, איננו מבין, אינו ממושמע דיו, לא מתרגל מספיק וכו’ וכו’. בשלב השני, וכמו כדי מעין לנקות את מימד האשמה, כי בכל זאת מדובר בילדים רכים ותמימים, אזי היא מפעילה את הקטגוריות של היחידות וההקבצות: “הו לא, אין זה אשמתו כלל, הוא פשוט נולד ככה”, “אלה היכולות שלו”, “3 יחידות זה מה שמתאים לו”, “הוא חומר של 5 יחידות” וכו’ וכו’.
וכך המהפך הושלם – במקום שהמערכת החינוכית תמקד את מאמציה בשיפור דרכי ההוראה שלה ותוכניות הלימוד שלה, על-ידי התעמקות בשאלות פדגוגיות בנוגע לצורת הלימוד הנכונה בלימודי המתמטיקה, וכן לחקור, יחדיו עם התלמידים בשאלות אלו כמו גם בשאלות שהמתמטיקה עצמה מציבה – היא הופכת את התלמידים לאובייקט המחקר שלה! “אה, זה תלמיד שהוא חומר טוב, זה 5 יחידות” משל היו אבץ, יהלום או כל עצם פיזיקלי אחר שיש לחקור את תכונותיו. ואז לאובייקט הזה מצמידים מספרים מסוגים שונים – מספרים של יחידות וכן מספרים של ציונים, וכן גם תכונות אחרות כגון זו של חוסר קשב וריכוז וכו’ וכו’. ישנה הכחשה מוחלטת שהיחס של התלמיד למתמטיקה, כמו גם יכולותיו, הם נגזרות (Pun intended) של אופן הלימוד.
מבחינתי אין “רמות” במתמטיקה. כמו שאין דבר כזה חצי הריון – ככה הדבר נכון גם ביחס למתמטיקה, או שעושים מתמטיקה או שלא עושים מתמטיקה. יצא לי ללמד תלמידים רבות שהוגדרו “3 יחידות” ולימדתי אותם ב”רמה” שאולי היו מחשיבים, לא סתם של “5 יחידות” אלא אוניברסיטאית, והפלא ופלא – הדברים אז היו להם הרבה יותר פשוטים. לטעמי, הכלל בהוראת המתמטיקה היא זו של “חוסך שבטו שונא בנו” – כל הנסיונות “להקל” דווקא מקשים. לטעמי, אין דבר קשה יותר מאשר ללמוד מתמטיקה ב”רמת” 3 יחידות.
ההמשך לחלוקה ליחידות גוררת הסללה שנקבעת כבר בחטיבת הביניים. מספיק שהיית בהקבצה שנייה בכיתה ח’ או ט’ שהאפשרות שתלמד ב-4 או 5 יחידות בכיתה י’ תמחק. זאת ועוד – לרוב מדובר בדרך חד-סטרית. תלמידים יורדים מ-5 ל-4 ומ-4 ל-3 כאשר האפשרות הממשית לעלות כמעט שאינה קיימת, וזאת מכיוון שהתלמידים כבר הפסידו חומר רב, שאינם יכולים להשלים.
החלוקה הזו להקבצות ויחידות לא מאפשרת לתלמידים הזדמנות שנייה. מעבר לבעיות שלפעמים מתעוררות בהבנה של נושא או אחר – החלוקה ליחידות והקבצות, אינה לוקחת בחשבון תופעה מוכרת מאוד ביחס לבני-הנוער, הלוא היא נשירתם. הנעורים הוא תקופה מאתגרת שבו הנער או הנערה מנסים למצוא את מקומם בעולם, ולמצוא את תשוקתם, כלומר בניגוד לשלבים הקדומים יותר של הילדות שבו אמנם ניתן להם מקום לבחירתם, עדיין הם היו מה שבפסיכואנליזה מכנים במקום של האובייקט. דהיינו, האובייקט של התשוקה, בעיקר של הוריהם (במקרה הטוב), אך גם של מוריהם. בגיל ההתבגרות, מה שידוע בתור מרד הנעורים, הוא הניסיון המטלטל והמטולטל שלהם להפוך מאובייקט התשוקה לאלה שמשתוקקים בעצמם.
על-כן, יכול בהחלט להיות מצב שבו במשך כמה חודשים התלמיד לא ילמד כלל. בכל “מקצוע” אחר – אין הדבר כה קריטי. אם התלמיד לא למד את הנושא של בית שני שנלמד במשך כמה חודשים בלימודי היסטוריה, אין זה מונע ממנו אחרי כמה חודשים לחזור לאיתנו וללמוד ללא בעיה על מלחמת העולם הראשונה. עם לימודי המתמטיקה – הדבר לרוב בלתי-אפשרי. וזאת מכיוון שהדברים בנויים נדבך על גבי נדבך. וכך, אם לתלמיד היתה תקופה מסויימת שבה הוא למד הדרך הינה בכיוון יחיד – לרדת הקבצה או ליחידה קטנה יותר.
האפשרות השנייה, שלא עושים בה שימוש כלל במערכת החינוך, היא ללמוד במסגרת של קורסים. כן, באותו האופן שבו לומדים באוניברסיטה, וזה אגב, גם האופן שבו מובנה לימודי המתמטיקה בחטיבה ובתיכון בארה”ב. כך לדוגמא בחטיבת הבניים יהיה קורס אלגברה 1 ואלגברה 2, וגיאומטריה 1 וגיאומטריה 2. נכשלת באלגברה 1? נו, לא נורא – תקח אותו שוב בסמסטר הבא. אם תלמיד נכשל בכל המקצועות בכיתה ז’, אז כנראה שישאירו אותו כיתה. אבל אם הוא רק נכשל במתמטיקה, אז מה? ישאירו אותו כיתה – בוודאי שלא. אבל מה הנושאים שהוא אינו יודע? כנראה שיתנו לו לעשות מבחן מעבר בקיץ, ובמקרה שייכשל ירד הקבצה וכו’ – שוב המנגנון של החלוקה להקבצות/יחידות. אבל כמו שהוא לא היה עובר לכיתה ח’ אם הוא נכשל בכל המקצועות, אזי כך הדבר נכון ביחס למתמטיקה. רק שאין טעם שהוא יישאר כיתה רק בשל הכישלון במתמטיקה. צריך שתהיה לו אפשרות ללמוד את הנושאים הללו מחדש. אגב, הדבר נכון גם לא רק עבור מי שנכשל – גם מי שעבר על הקשקש יוכל לחזור על הקורס כך שיעמיק בלימוד וידע את נושאי הלימוד בקורס בצורה טובה יותר. הלימוד כיום הוא לינארי לחלוטין וכל מעצור בדרך משול לנפילה לגמרי מהדרך. אבל מעבר לבינאר של הצלחה/כישלון – כל לימוד הוא מעגלי, ולא לינארי, ועל-כן אופן הלמידה בקורסים יאפשר חזרה והתעמקות בדברים, למי שמעוניין.
כיום רק עבור מי שידם משגת ילדיהם יכולים לקבל הזדמנויות שניות ללמידה בדמות שיעורים פרטיים. ואבהיר – כדי להשלים כמות חומר של כמה חודשים נדרשים עשרות שיעורים פרטיים בפרק זמן קצר, דבר שרוב ההורים אינם יכולים לו, וזו גם הסיבה שרוב הניסיונות להשלמות למיניהם עם המורים הפרטיים לא צולחים, שכן אין התאמה לכמות השיעורים הנדרשת למשימה.
אך למעבר ללימודים במסגרת של קורסים יהיו יתרונות נוספים מעבר לאפשרות להזדמנות שנייה. אחת מהן שבכך יתאפשר לתלמידים שתשוקתם מתמטיקה ורוצים להתקדם בקצב מהיר יותר לקחת יותר קורסים בסמסטר ובכך לסיים את חובותיהם מוקדם יותר. כיום תלמידים אלו או שמשתעממים בשיעורים או שנדרשים ללכת לכל מיני תוכניות מצויינות שאינן חלק אינטגרלי מבית הספר ושקורעות אותם ממסלול הלימודים בבית הספר.
המטרה המוצהרת של משרד החינוך ביחס ללימודי מתמטיקה ברמת 5 יחידות לבגרות היא לצורך העמדת עתודה של בוגרים שיפנו בבגרותם ללימודי ההנדסה, המדעים המדוייקים ומדעי המחשב. אולם האבסורד הוא שתוכנית הלימודים הקיימת, על כל מגרעותיה כפי שפרסתי לאורך המאמר הזה, אינה מכינה למתמטיקה ברמה אקדמית כפי שנלמדת בחוגי ההנדסה, המדעים המדוייקים ומדעי המחשב. הדבר נאמר בבירור על-ידי עצומות של מרצים למתמטיקה לאורך השנים, שהתנגדו לתוכנית הלימודים של משרד החינוך. אבל הראייה החזקה ביותר לכך היא אחוזי הנכשלים בקורסים המתמטיים בשנה א’, שברובם הוא עומד על באיזור ה-50%. דבר זה גם מתבטא באחוזי נשירה גבוהים – 42% אחוזים במדעי המחשב וכ-30% במקצועות ההנדסה.
כבר כתבתי רבות על היעדר המוכנות של הסטודנטים החדשים למתמטיקה שהם נתקלים בה באוניברסיטה, ועל-כן לא אכנס לעובי הקורה כאן. אומר רק בקצרה שההיעדר בלימוד מושגי, כפי שציינתי קודם, הגם שהוא היה משפר פלאים את אופן הלימוד ב”רמת” התיכון – במסגרת הלימודים האקדמיים לא ניתן לחמוק ממנו. באקדמיה לומדים באופן מושגי, אולם הסטודנטים החדשים נטולים כל יכולת לעבודה עם מושגים מתמטיים. הם פשוט מותכים בקיר המציאות בתחילת הלימודים ואינם יודעים מה לעשות. הבעיה השנייה הרצינית שאיתה הם מתמודדים היא בהיעדר ידע ויכולת לוגית, שכן כפי שציינתי תחום הלוגיקה לא נלמד כלל במסגרת הלימודים במערכת החינוך. כפועל יוצא מכך – אין הם יודעים איך לכתוב הוכחות כלל וכלל. בקיצור, רוב היכולות וההרגלים שהם סיגלו לעצמם במסגרת לימודיהם לקראת הבגרות אינם אפליקטיביים במסגרת האקדמיה. הלימודים הקדם-אקדמיים במתמטיקה נכשלים כשלון חרוץ בהכנה למתמטיקה ברמה אקדמית.
בפוסט הזה סקרתי בעיות רבות שאני מוצא בלימודי המתמטיקה במערכת החינוך על שלל נספחיה (חטיבה ותיכון, קורסי השלמת בגרות ומכינות למיניהם). במצב העניינים הנוכחי אין זה מפתיע אותי שרוה התלמידים סובלים מלימודי המתמטיקה ולא מצליחים בהם. נהפוך הוא – מפתיע אותי אלו שאינם סובלים ודווקא כן מצליחים. אינני חושב שהדבר הוא גזירת גורל – כאילו אחד נולד עם יכולות מתמטיות והאחר לא. היחס של התלמיד למתמטיקה הוא פונקציה של אופן ההוראה. יותר מכך – הייתי עונה למי שאומר שאיננו נהנה מלימודי המתמטיקה במערכת החינוך, שאין הוא יכול לומר שהוא לא נהנה מלימודי המתמטיקה, שכן אין הוא חווה באמת מה זה נקרא ללמוד מתמטיקה. התחום שהוא לומד בבית הספר שקוראים לו “מתמטיקה” הוא חיקוי זול של המתמטיקה האמיתית.
בפוסט, לצד הביקורת, ניתן בוודאי היה לזהות איך אני מאמין שכן כדאי ללמוד מתמטיקה – עם דגש על מושגים, ללמוד את המתמטיקה כשפה, ללמוד אותה כמעשה של בנייה משותפת של התלמיד והמורה, בנייה אקסיומטית, לחקור ולבחון את הדברים לפי המושגים של אמת ושקר ולהוכיח ולהפריך את הטענות שמועלות, כמו גם להיות בעמדה אקטיבית של להעלות טענות בעצמנו כחוקרים עצמאיים ועוד ועוד. כאשר לומדים באופן הזה – המתמטיקה האמיתית מתגלה בכל יופיה וההנאה היא רבה. ההצלחה בוודאי באה בעקבותיה.
אהבתם? שתפו
